2023届广东省广州市执信中学高三上学期11月月考数学试题含解析

这是一份2023届广东省广州市执信中学高三上学期11月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省广州市执信中学高三上学期11月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.【详解】，，所以.故选：C.2．已知是虚数单位，，则（    ）A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．【详解】；；故选：C【点睛】本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属于基础题．3．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】根据题意，，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.4．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比数列性质求出，进而求出公比的取值范围并用表示出，然后根据对勾函数的性质即可求解.【详解】由等比数列性质可知，，因为，所以，从而不妨令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递减，故对于，，，从而，则.故的取值范围为.故选：D.5．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可．【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则所有可能情况有种情况，由于该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当1前面只有一个数时，有4种情况，当1前面只有2个数时，有种情况，当1前面有3个数时，有4种情况，故一共有，故数列为先减后增数列的概率．故选：B．【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力．6．函数的一条对称轴方程为，则（ ）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【详解】试题分析：的对称轴是化简得【解析】三角函数性质点评：利用对称轴处取最值求解7．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.【详解】解：，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因为，所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.8．定义在R上的函数 满足： 的对称轴为 ， ，且在区间 上单调递增，已知 是钝角三角形中的两锐角，则 和 的大小关系是（　　）A． B．C． D．以上情况均有可能【答案】A【分析】由题意可推得函数为偶函数且2为其一个周期，由此判断其单调性情况，结合正弦函数的单调性可得答案.【详解】由题意知的对称轴为，可得的对称轴为，即有，函数为偶函数，又，即，可得，即为， 即2为函数的的周期，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，可得在上递减，由是钝角三角形中两锐角，可得，即有，则，即为，则，故选：A.9．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若 ，则，， ；）其中假命题是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.【详解】由知，，，对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；对于丙：由知，丙正确；对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，，故丁是真命题. 故选：B. 二、多选题10．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（    ）A．双曲线的渐近线方程为B．内切圆的半径为C．D．点到轴的距离为【答案】ABD【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.【详解】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；因为，，，所以，，解得，故，C错误；内切圆的半径为， B正确；设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.故选：ABD．11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）．A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．直线和夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为【答案】BCD【解析】由与不垂直，所以直线与直线不垂直，可判定A不正确；取的中点，分别连接，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而判定B正确；连接，把直线和所成的角即为直线和所成的角，在等边中，可判定C正确；根据等体积法，可判定D正确.【详解】在棱长为2的正方体中，可得，又由与不垂直，所以直线与直线不垂直，所以A不正确；取的中点，分别连接，可得，进而可得平面，平面，根据面面平行的判定定理，可得平面平面，又由平面，所以平面，所以B正确；连接，可得，所以直线和所成的角即为直线和所成的角，即，在等边中，可得，即直线和所成的角的余弦值为，所以C正确；设点到平面的距离为，由，在直角中，，在直角中，，在中，，又在中，由余弦定理可得，则，所以的面积为，因为，可得，可得，即点到平面的距离为，所以D正确.故选：BCD12．已知函数是的导函数，下列命题正确的有（    ）A．成立B．成立C．在上有两个零点D．“”是“成立”的充要条件【答案】ABD【分析】构造函数，借助导数判断单调性判断A；利用导数判断单调性判断B；分析函数在上的单调性判断C；利用充要条件的定义判断D作答.【详解】依题意，，对于A，，令，则，令，当时，，即在上递增，当时，，因此在上递减，，即恒成立，A正确；对于B，令，当时，，即函数在上递增，当时，，函数在上递增，，B正确；对于C，由选项知，函数在上递增，当时，，无零点，当时，，即函数在上递减，而，即函数在上有唯一零点，因此函数在有1个零点，错误；对于D，当时，，由选项知，不等式成立，反之，若，，令，，，由选项B知，在上单调递增，当时，，则在上单调递增，，当时，，则存在，使得，因此当时，，则在上单调递减，当时，，不符合题意，综上得，所以“”是“成立”的充要条件，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 三、填空题13．已知，则的值为___________.【答案】【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.【详解】令，由的展开式的通项为，令，得，令，得，所以，所以.故答案为：14．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.【答案】【分析】以，为基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出结果.【详解】设，则，由于可得， 解得，所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于中档题.15．已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_____________.【答案】【分析】先利用直线与曲线相切得到，所以.设，利用导数讨论单调性，求出g(a)的最大值.【详解】设直线y=x与曲线相切于点.因为，所以，所以.又因为P在切线y=x上，所以，所以，因此.设，则由，令，解得：；令，解得：；所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，可知g(a)的最大值为，所以ab的最大值为.故答案为： 四、双空题16．已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则________；若的中点到准线的距离为，则_________.【答案】     16     4【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，，进而可得，再结合条件即得.【详解】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，，则，因为，所以，又，∴，，∴，又的中点到准线的距离为，∴，即，∴，即.故答案为：16；4. 五、解答题17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求外接圆面积的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.【详解】（1）因为，所以，解得或（舍去），又为锐角三角形，所以.（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以.外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为.18．已知数列满足.(1)若，证明是等差数列；(2)设，数列的前项和为，若，求.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题设中的递推关系可得均为等差数列，求出它们的通项后再利用等差数列的定义可证明是等差数列；（2）利用分组求和和裂项相消法可求.【详解】（1）因为，所以，故均为等差数列，公差均为3，故，且，故，所以，所以是等差数列.（2）由（1）可得，，当时，，当时，，而19．在四棱锥中，平面，，，，，点，在线段上，满足，.（1）求证：；（2）若为线段上的一点，且平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明，再证明可得，由线面垂直的判定定理证明平面，即可求证；（2）连接交于点，连接，由可得，再由线面平行的性质定理可得，即可得，建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，面的一个法向量，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，，，，，，所以四边形为矩形.因为，所以，所以，所以，所以 ，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）连接交于点，连接，因为，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由（1）知平面，则为平面的一个法向量，因为，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20．甲､乙､丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去，三人经过抽签决定由甲､乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为，乙丙比赛乙胜概率为，丙甲比赛丙胜概率为，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局.(1)比赛完3局时，求甲､乙､丙各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量X，求的X分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为． 【分析】（1）用表格列举出4局比赛的可能对手情况，可分析出甲､乙､丙各胜1局的两种情形，由此可计算出概率；（2）由比赛规则分析丙至少比赛2局，因此可得的可能值为1或2，计算出概率后得分布列，由期望公式计算期望．【详解】（1）用表格列出4局比赛可能的对手．1234甲乙甲丙甲乙甲丙乙丙丙乙丙甲乙甲乙丙乙甲乙丙甲丙丙甲丙乙甲乙 考虑前3局，甲､乙､丙各胜1局，有两种情形：第一局若甲胜，则第2局甲丙比赛，丙胜，第3局丙乙比赛，乙胜，第一局若乙胜，则第2局乙丙比赛，丙胜，第3局丙甲比赛，甲胜，所求概率为．（2）根据比赛规则，丙第一局作为旁观者，第二局必须参赛，第三局如果是旁观者，则第四局必定参与比赛，而第三局比赛时，第四局可能参与比赛了可能作为旁观，的可能值是1或2．由（1）中表格知，，，所以的分布列为12 ．21．如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．(1)求椭圆M的方程；(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)为常数，值为1 【分析】（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；（2）设直线l：，则，再根据直线与直线可得，从而可得为常数.【详解】（1）由题，，设，则，∴，又，∴，，∴椭圆M的方程为：.（2）直线l若过原点，由对称性知不合题，设直线l：，则，消去x得，设，则∴①AC：②，BD：③②③联立得①代入得解得，即∴，∴为常数，值为1．22．已知函数的最大值为，且曲线在x＝0处的切线与直线平行（其中e为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果，且，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用找到的关系式，然后引入，构造关于t的函数，将转换成关于t的函数，求最值即可．【详解】解：（1）由已知．则易知，又因为，故a＝0．此时可得．①若b＞0，则当时，递减；当时，递增．此时，函数有最小值，无最大值．②若b＜0，则当时，递增；当时，递减．此时，解得．所以即为所求．（2）由，且得：．∴．设，则可得，所以要证，即证．∵t＞0，所以，所以即证．设，则．令，则当时，递减；当时，递增．所以，即，所以在上递增．所以．．【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究双变量问题，同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问题的能力．属于较难的题目．