2023届吉林省长春市第二实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2023届吉林省长春市第二实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省长春市第二实验中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A．或 B．C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出集合A，再由交集和补集的定义求解即可.【详解】因为或，，则.故选：B．2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】，.故选：B.3．在中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的加法运算，将化为，即可求得答案.【详解】由题意可得：，,则,故选:A4．新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（    ）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【答案】C【分析】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.【详解】解：由题意得：物理或历史中选一门：种选法；物理和历史都选：种选法；物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；故选：C5．已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】设两点的横坐标分别为，由对称性求出，再结合抛物线的定义得出弦长.【详解】因为抛物线：，所以设两点的横坐标分别为因为线段的中点关于轴的对称点在直线上所以线段的中点的横坐标为，则，即故故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用抛物线的定义求出弦长.6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：D7．，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别计算出 的范围即可判断大小关系.【详解】由题意， ，由指数函数的性质可知 ， ，由于 ，由对数函数的性质可知 ， ，由指数函数的性质可知 ，所以 ；故选：A.8．半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，，则有，以、、为邻边可构造一个长方体，此时可知，然后由可得答案.【详解】解：设，，，因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，所以，有，以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，所以，．因为所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，此球体积的最小值为．故选：D9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（    ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【分析】根据统计图提供的数据判断．【详解】讲座前问卷答题的正确率有5个不大于70%（其中最大的是70%），5个大于70%的中位数，因此中位数大于70%，A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个小于85%且是80%，其他都不小于80%，其中有两个是100%，因此平均值大于85%，B正确；讲座前问卷答题的正确率较分散，偏差较大，讨论后正确率大多数集中在85%或90%，偏差较小，即标准桊较小，C错；讲座后问卷答题的正确率的极差是20%，讲座前正确率的极差是35%，D错．故选：B． 二、多选题10．已知函数，且，则（    ）A．B．的图象关于直线对称C．若，则是的整数倍D．在上不单调【答案】AD【分析】对于A，令即可判断；对于B，可先由求出的值，再令求出对称轴方程即可判断；对于C，可根据分别求出和的值即可判断；对于D，直接求出函数的单调区间即可判断.【详解】对于A，令可得，即，所以A选项正确；对于B，因为，所以，即，解得，又因为，所以，所以.令，解得，所以的图象的对称轴方程为，可知B选项错误；对于C，根据解得，同理可得，又因为所以，所以，因为且，可知是的整数倍，所以C选项错误；对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，令，解得，所以函数的单调递减区间为，可得函数在上不单调，所以D选项正确.故选：AD.11．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（    ）A．为单调递增的等差数列 B．C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6【答案】BCD【解析】令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.【详解】令，则，，，因为是等比数列，所以，即，，，B正确；，是公差为的递减等差数列，A错误；，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；，，，时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 三、填空题13．已知，若，则___________．【答案】【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案【详解】解：因为，，所以，解得，故答案为：14．已知F为双曲线的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A、B两点，若长为10，则C的离心率为________．【答案】【分析】由F到直线l的距离求出，再由长为10求出，进而求出，即可求得离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨设，易得，则F到直线l的距离为，则，将代入，可得，由可得，解得．故答案为：.15．若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是________．【答案】12【分析】确定圆心和半径，根据已知可得点在直线上，由此可推出当到直线的距离最短时，所求弦长最小，结合点到直线的而距离公式即可求得答案.【详解】将圆C的方程化成标准方程为，圆心为，半径为9，因为圆C关于直线对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，有,即点在直线上，设，过点D作圆C的切线，切点为E，则，要使得切线长最短，则只需最短,的最小值为点C到直线的距离，此时，所以根据勾股定理，得,即切线长的最小值是12，故答案为：1216．已知函数是上的奇函数，函数是上无零点的偶函数，若，且在上恒成立，则的解集是___________.【答案】【分析】根据可确定在上单调递增，结合函数的奇偶性确定在上单调递增，再根据可求出答案.【详解】令，则，所以函数在上是奇函数，所以.因为在上恒成立，所以在上恒成立.当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以即，所以.当时，因为在上单调递增，所以即，又，所以.综上，的解集是.故答案为： 四、解答题17．已知等差数列的公差不为0，且满足.(1)求的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，再利用等差数列的通项公式即得；（2）利用裂项相消法可得，即证.【详解】(1)设数列的公差为，由题可知，解得，∴，故的通项公式为.(2)∵，∴，记，则，∴.18．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小；（2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可.【详解】(1)由正弦定理知：，则，所以，则且，可得或，又，所以.(2)由题设，，则，又，所以，整理得，解得，满足题设.由，所以，当时；当时；19．在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，E为PD的中点．(1)证明：平面；(2)若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，用线面平行的判定定理进行证明；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将两个平面的夹角问题转化为向量夹角问题求解．【详解】(1)证明：连接，交于点，连接，因为为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，设平面的法向量为，，，则，令，则，，所以，，，所以，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．20．“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性2060100200 (1)已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关； 优秀员工非优秀员工总计男性   女性   总计    (2)以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为，求的分布列与数学期望．附：．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635  【答案】(1)列联表见解析，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关(2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先利用所给数据表完善2×2列联表，再利用公式求出，利用临界值表进行判定；（2）先求出从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，列出X的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解..【详解】(1)解：补全2×2列联表如图所示： 优秀员工非优秀员工总计男性30170200女性20180200总计50350400 ，故没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．(2)解：由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，．，，所以X的分布列为X0123P 所以．21．已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，，与椭圆分别交于点，．（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线，的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．【答案】（1），离心率为；（2）证明见解析.【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程得到的一个方程，再由与抛物线的焦点相同再得的一个关系式，从而得到椭圆方程和离心率；（2）设直线的斜率为，然后联立直线与椭圆方程求得交点坐标，同理与椭圆的交点坐标，由斜率公式可得答案.【详解】（1）由题设，得，①且，②由①②解得，，所以椭圆的标准方程为，椭圆的离心率为．（2）直线的斜率为定值1. 证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，．设直线的方程为，与椭圆的方程联立，并消去得，则，是该方程的两根，则，即．设直线的方程为，同理得．因为，，所以，因此直线的斜率为定值．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点坐标，再用直线的斜率公式，本题考查学生的计算能力，考查推理论证能力，属于难题.22．已知函数．(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减.(2) 【分析】（1）两种情况讨论的符号，可得在其定义域内的单调性；（2） 函数在处取得极值，求出，不等式恒成立问题通过分离参数法化为求函数的最值.【详解】(1)函数的定义域为，，当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，解得，解得，此时在上单调递增，在上单调递减.(2)若函数在处取得极值，∴，解得，∴，经检验满足题意.对，恒成立，等价于在上恒成立，设，解得，解得，∴在上单调递增，在上单调递减.，∴，实数b的取值范围为