2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知，集合，若有三个元素，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由有三个元素可判断或，由互异性排除不合理数值，再求即可.

【详解】因为集合，有三个元素，

若且，无解，

若且，解得，此时,

所以，

故选：A.

2．已知为虚数单位，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由复数的乘法得到，再根据复数相等得到的值，从而可求.

【详解】由，得，

又，由复数相等的充要条件得，，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的乘法和复数相等的条件，注意两个复数相等指它们实部相同且虚部相同，本题属于基础题.

3．体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足为慢跑里程（单位：米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（    ）（e为自然对数的底数，）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】设跑了圈，根据题目所给函数解析式求出运动强度，解不等式求解即可.

【详解】由题意，设跑了圈，则，

所以，

所以，解得.

故选： B.

4．已知函数，结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于原点对称

C．的值域为

D．在区间上单调递增

【答案】D

【分析】判断、是否成立，即可确定A、B正误；根据正弦函数的值域、区间单调性，及指数函数的值域及其复合函数的单调性判断C、D的正误.

【详解】A：，故最小正周期不为，错误；

B：，故图象不关于原点对称，错误；

C：由，故，错误；

D：在定义域上递增，在上递增，故在上递增，正确.

故选：D

5．下列说法错误的是

A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线

B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面

C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面

D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面

【答案】C

【解析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.

【详解】若直线平面，直线平面，则与平行、相交或异面，则直线不一定平行于直线，故A中说法正确；若内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理得，这与平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面，故B中说法正确；若平面平面，则当内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面平行，故C中说法错误；若平面平面，平面平面，，则根据面面垂直的性质得一定垂直于平面，故D中说法正确.综上所述，本小题选C.

【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.

6．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ）

A．45 B．9 C． D．

【答案】B

【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果.

【详解】令，，则，，

由，故，则，

而，，则，，

所以，故，

.

故选：B

7．定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数列的前项的“均倒数”为，得到，进而求得，，得到，利用裂项相消法求解.

【详解】由已知得，

∴，

当时，，

验证知当时也成立，

∴，

∴，

∴

∴．

故选：B

8．材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.

材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.

根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（    ）

A．6 B．10 C．12 D．20

【答案】C

【分析】令，根据材料一海伦公式写出面积，由二次函数性质求面积最大值即可.

【详解】令，则且，故，而，

所以面积，

当时，.

故选：C

9．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用基本不等式求出的范围，再设出，的坐标，根据，的纵坐标相等得到，从而得到，再根据圆柱的体积公式得到，最后利用基本不等式即可得到体积的最大值.

【详解】，因为，所以

当且仅当时取等号，即.

所以.

因为矩形绕轴旋转一周旋转得到一个圆柱，

设点的坐标为，点的坐标为，如图所示：

则圆柱的底面圆的半径为，高为，

因为，

即，因为，所以.

所以，

所以，

所以圆柱得体积为，

因为，当且仅当时取等号，

所以

所以矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是.

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆柱的体积计算，同时考查了利用基本不等式求最值，属于难题.

10．已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出P在抛物线上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出选项.

【详解】解：因为实数a，b，c成等差数列，所以，

则直线化为，

即，

由解得,

所以直线过定点，

又点Q在曲线上，

所以直线与曲线相交的一个交点为Q，

设另一个交点为，

设，则，

又在曲线上，化简得，

即P在抛物线上运动，

设抛物线的焦点为，

设，，

曲线，得，

记圆心

所以

.

故选B.

【点睛】本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题.

11．已知函数若方程恰有三个不同的实数解，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出的图像，根据图像求出以及+的值和的范围，进一步求出答案.

【详解】画出的图像，

因为方程恰有三个不同的实数解，，

可知的范围

由题可知+=2，

所以

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.

二、多选题

12．已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（    ）

A．圆与圆有两条公切线

B．圆与圆关于直线对称

C．线段的长为

D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为

【答案】ABD

【解析】写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B，利用圆的弦的性质可判断C，根据圆上两点最大距离判断D.

【详解】圆：的圆心为，半径，

圆：，即，其圆心为，半径,

所以,两圆相交，

对于A，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，A正确；

对于B，两圆方程相减得，即直线AB的方程为 ，因为圆心与圆心关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以B正确；

对于C，由B的结论可知，，故C错误；

对于D，，分别是圆和圆上的点，则的最大值为，故D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用.

三、填空题

13．已知的展开式中第6项的系数为，则实数__________.

【答案】

【分析】根据指定项系数，结合展开式通项公式列方程求参数a即可.

【详解】由题设，展开式通项为，

所以，故，则，

所以，又，故.

故答案为：

14．语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”､“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有符合这个规律的4位数中，四个数字都相同的概率为__________.

【答案】##0.1

【分析】根据规律确定符合这个规律的4位数的个数，再找到四个数字都相同的个数，即可得概率.

【详解】四位数中形式为的共有90个，且四个数字都相同的有共9个，

所以所有符合这个规律的4位数中，四个数字都相同的概率为.

故答案为：

15．侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．

【答案】

【分析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．

【详解】如图，

正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，

不妨设PC＝1，

∵侧面为等腰直角三角形，

∴BC，

∴OC，

∴OP，

∴sin∠PCO，

故答案为．

【点睛】此题考查了直线线与平面所成角，熟练运用线面关系找到所求角，准确计算是关键，是基础题．

16．已知，，…，是抛物线上不同的点，且．若，则______．

【答案】16

【分析】设，，结合条件可得，利用抛物线的定义可得结果.

【详解】设，

､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，

则，

所以

所以，即

故答案为：16

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．

（1）求角；

（2）若是内一点，，，，，求．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）选条件①：利用正弦定理的边角互化即可求解；选条件②：利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解；选条件③：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解.

（2）由题意可得，在与中，分别利用正弦定理得出与，两式相等计算求解即可.

【详解】解：（1）方案一：选条件①

，

，

，，又.

方案二：选条件②

又.

方案三：选条件③

整理得

，，又，.

（2），

在中，，

在中，

，

整理得，.

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，.

(1)试在棱PC上找一点E满足：；

(2)若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.

【答案】(1)E为棱PC的中点

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，待定系数法表示出点坐标，由空间向量求解

（2）由垂直关系解出点坐标，再由空间向量求解

【详解】（1）∵，，，

∴，，

如图，以A为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，

可得，，，，

设点E为棱PC上的点，且.

向量，，且

∴，，

∴

∴，，

若故.

∴，∴即

∴E为棱PC的中点.

（2），，，

由点F在棱PC上，设，故，

由，得,，

解得，即.

设为平面ABF的法向量，

则，即，

不妨令，可得为平面ABF的一个法向量.

取平面PAB的法向量，

则.

易知，二面角是锐角，

∴其余弦值为.

19．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.

(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；

（2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解.

【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙

大学恰好通过一门笔试科目”为事件，

根据题意可得，

（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，

根据题意可知，，所以，，

，

，

.

则随机变量的分布列为：

，

若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，

所以，又因为，所以，

所以，的取值范围是.

20．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用△∽△构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出和，利用几何关系可知，即可得，将韦达定理代入化简即可求得点的坐标.

【详解】（1）∵椭圆的焦距为，∴，即，

轴，∴，则,

由，，则△∽△，

∴，即，

整理得，即，解得或（舍去）

∴，∴，

则椭圆的标准方程为，

（2）设直线的方程为，且，

将直线方程与椭圆方程联立得，

，

则，，

∵，∴，

∴  ,

∴，

∴

，

即.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，，记在区间上的最大值为，且，求的值.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）对求导，根据导函数的符号确定其区间单调性；

（2）由题设且求导，构造研究其在上的单调性并确定零点位置，进而得到的单调区间，通过隐零点求最大值的范围，即可得n值.

【详解】（1）函数的定义域为，则，

令得：，所以在上单调递增；

令得：，所以在上单调递减.

（2）当时，，

所以且，

所以，

令，则在上成立，

所以在单调递增，

由于，，

所以存在，使得，即.

在上，恒成立

，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

函数在的最大值为，

，当且仅当时等号成立，即等号取不到，

，又，

.

【点睛】关键点点睛：第二问，通过构造函数研究单调性和零点，从而得到的单调性和最值，结合所得隐零点求其最大值的范围.

22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).

（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.

（2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.

【详解】（1）由得，即.

由消去得.

（2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为

，从而最大值为.

【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离的最值的求法，属于中档题.

23．已知函数，其中为实常数．

（1）若函数的最小值为3，求的值；

（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）的值为1或-5；（2）的取值范围是．

【详解】试题分析：（1）因为，则；令，即可求得的值；（2）当时，由，得，即．

据题意，，解不等式组得的取值范围是．

试题解析：（1）因为，

当且仅当时取等号，则．

令，则或．

（2）当时，，．

由，得，即，即．

据题意，，则，即．

所以的取值范围是．

【解析】1、绝对值不等式；2、最值问题．