2023届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．如果，那么下列不等式中错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解．【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B，因为，所以，所以该选项正确；对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D，所以，所以该选项正确．故选：C2．“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据导数研究函数的单调递增区间，进而结合题意得在上是严格增函数时，，再结合充分不必要条件判断即可.【详解】解：，令得，所以，①当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则，即；②当时， 恒成立，在上单调递增，故满足函数在上是严格增函数；③当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则满足，即；，综上，要使“函数在上是严格增函数”，则.因为是的真子集，所以，“”是“函数在上是严格增函数”的充分不必要条件.故选：A3．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为（    ）A．[1，＋∞) B．[0，]C．[0，1] D．[1，]【答案】D【分析】分别利用二次函数和对勾函数的单调性求出相应的单调区间，结合选项得出答案．【详解】因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数.又当x≥1时，＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，].故选：D.【点睛】本题利用新定义的形式考查函数的单调区间，考查利用导数解决对勾函数的单调性，考查学生计算能力，属于中档题．4．已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题知在定义域上是单调减函数，进而分都为负值和讨论可判断出结果.【详解】解：由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，所以，在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当都为负值，则都大于，当，则都小于，大于.综合可得，不可能成立．故选：C 二、填空题5．设全集，，，则__________【答案】【分析】根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案.【详解】解：因为，，所以，又因为，所以.故答案为：6．不等式的解为                        ．【答案】或【详解】由，可得 即 所以不等式的解为或 7．已知，，用a、b表示__________．．【答案】【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达是本题的关键；【详解】因为，所以，所以有换底公式得：因为，而，所以，∴故答案为：8．若，则实数x的取值范围是__________【答案】.【分析】对绝对值分析，得到答案.【详解】当 得取交集得所以方程得解得和矛盾，舍去.当得取交集得,所以方程得解得和取交集得.当得取交集得不符合题意.当得取交集得,所以方程得解得和取交集得不符合题意.当或，显然符合题意.综上所述： .故答案为：.9．已知实数a、b满足，则的取值范围是__________【答案】【分析】先根据将变为，然后分和两种情况，分别利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以且，所以，所以，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，的取值范围是.故答案为：.10．已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是__________．【答案】【分析】根据题意，将问题转化为kx2﹣kx+1＞0恒成立求参数，再结合二次函数性质，即可求解.【详解】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立，当k≠0时，，解可得，0＜k＜4，综上可得，k的范围[0，4）.故答案为：.11．关于x的不等式的解集为__________【答案】【分析】由对数的运算性质与换元法求解【详解】令，则，解得，则，解得，故答案为：12．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.【答案】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．【详解】解：∵，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________【答案】【分析】根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可.【详解】解：因为关于的方程有实数解，所以方程有实数解，因为当且仅当时等号成立，所以，方程有实数解，则所以，实数的取值范围是.故答案为：14．若函数（）是增函数，则实数a的取值范围是__________【答案】【分析】由题知，进而解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数的定义域为，函数是增函数，所以，二次函数的对称轴，解得.所以，实数a的取值范围是故答案为：15．设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是_____.【答案】【详解】试题分析：∵是定义在上的奇函数，∴当时，，而，当些仅当时，“=”成立，∴当时，要使恒成立，只需或，又∵时，，∴，综上，故实数的取值范围是.【解析】1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法. 16．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为____________．【答案】【分析】数形结合，画出在区间上图象，根据与的图象交点分析即可【详解】由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都成立，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象.故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间区间，…，上的公切线之间.故与在区间，…上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个故答案为： 三、解答题17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC，(1)求三棱锥体积；(2)若M为中点，求与面所成角大小.【答案】(1)1(2) 【分析】（1）先求出三棱锥的高，代三棱锥体积公式计算得解;（2）取中点，连接，证明平面，根据直线与平面的所成角的公式计算可得.【详解】(1)因为底面，，又因为O为AC边中点，，所以为正三角形，，又因为底面为等边，，所以.(2)连接，因为底面为等边，所以，因为底面，所以，，所以平面，如图，取中点，连接，则，所以平面，所以，所以与面所成角即为，因为，所以，直角三角形中，所以，所以与面所成角大小为.18．已知O为坐标原点，直线l是抛物线的准线，抛物线上一点，直线m：与抛物线交于A、B两点.(1)若圆C的圆心在y轴上，圆C与直线l相切，且圆C过点P，求圆C的标准方程；(2)求面积的最小值.【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）先求出抛物线的方程和准线方程，再求出圆C的半径和的值即得解；（2）设，，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，再求出即得解.【详解】(1)设圆C的圆心，因为点P在抛物线上，所以，抛物线的准线l：，因为圆C与直线l相切，所以圆C的半径，∵圆C过点P，∴，则，∴圆C的方程为.(2)设，，联立直线和抛物线的方程得，则，，且，所以当时，19．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意，由年利润=年销售收入-固定成本-流动成本求解；（2）由（1）的结论，求分段函数的最大值；【详解】(1)解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.依题意得，当时，；当时，.所以；(2)当时，，当时，取得最大值；当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.当时，取得最大值.由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.20．已知函数.(1)若是奇函数，求实数a的值；(2)若在上是严格增函数，求实数k的取值范围；(3)设，若对于任意的，总存在，使得或，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）可利用先求出实数a的值，再进行检验即可.（2）利用增函数的定义，任取，则有，恒成立，根据题意列出含的不等式，即可求解.（3）先将对于任意的，总存在，使得或，转化为值域与值域的并集为的问题，再对参数进行分类讨论，分别求出值域与值域，列出相应不等式即可求解.【详解】(1)因为是奇函数，所以，得，经检验，当时，是奇函数，所以.(2)任取，因为，若在上是严格增函数，所以恒成立，于是，而，所以，故实数k的取值范围为.(3)记值域为A，值域为B，由题意得，，当时，值域为R，因此对于任意的，总存在，使得；当时，值域为，值域为，所以不符合题意；当时，值域为，值域为，由题意得，，此时无解，综上，.所以实数a的取值范围为.21．已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.【答案】(1)是，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.【详解】(1)是，理由：由题，（，）为增函数，故（）是函数.(2)因为是函数，且，所以是上的增函数， 因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，此时等价于，由的单调性得，，即所求不等式的解集为.(3)由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，当时，同理可得，且，故且，故.因此 ，当时，对一切成立.下证，任意均不满足要求，由条件②知，.另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.对条件①，任取，有，注意到是增函数，而对，当时，；当时，，均单调不减.因为，所以条件①成立.从而.此时，，故，从而为所求最大值.【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.