2023届上海市洋泾中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届上海市洋泾中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市洋泾中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．设x，，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别作出与的区域，即可判断.【详解】分别作出与的图象如图，表示圆及内部，表示正方形及内部，显然 ，，则是的必要不充分条件.故选B．【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围大范围，大范围小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题.2．关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（       ）A．若，则内一定存在直线平行于B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C．若，，，则D．若，则内所有直线垂直于【答案】D【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项.【详解】画出一个正方体如下图所示.平面平面，而，即平行于这两个垂直平面的交线，有平面，故选项命题是真命题，且选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B选项命题是真命题.由下图可知，平面和平面同时垂直于平面，它们的交线也垂直平面，故选项C命题是真命题.综上所述，本题选D.【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题.3．函数的图象是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.【解析】函数的图象与性质． 4．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【答案】D【详解】试题分析：因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D. 【解析】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.  二、填空题5．设全集，，，则___________.【答案】【分析】根据补集贺交集的定义即可得解.【详解】解：因为，所以或，所以.故答案为：.6．若复数满足，其中为虚数单位，则_________．【答案】【详解】设，则【解析】复数相等，共轭复数 7．如果展开式中各项系数的和等于，则展开式中第项是__________.【答案】【分析】利用各项系数和可得出的值，然后利用二项展开式通项可求得结果.【详解】因为展开式中各项系数的和为，解得，所以，展开式中第三项为.故答案为：.8．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______．【答案】【详解】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 9．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】-1【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：-1.10．已知定义在上的函数周期为，且当，，则_________.【答案】1【分析】利用函数的周期性，直接代入求值即可.【详解】定义在上的函数周期为，且，，故答案为：111．已知正实数，满足，则的最大值为_________.【答案】【解析】利用基本不等式可求得的范围，等式两边同时平方即可得解.【详解】，，当且仅当即时等号成立，，即的最大值为.故答案为：12．在一个盒子中有大小质地相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两个人依次不放回地摸一个球，在第一个人摸出1个红球的条件下，第2个人摸出1个白球的概率是_________.【答案】【分析】根据概率的定义计算．【详解】在第一个人摸出1个红球的条件下，盒子中还有5个红球，4个白球，第2个人摸出1个白球的概率为．故答案为：．13．方程在区间上的解为___________．【答案】【详解】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【解析】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 14．设函数若不等式的解集为则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】，且，设函数，若不等式的解集是，，当时，，可得，解得；当，即时，，不等式恒成立可得．综上可得．实数的取值范围为：，．故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15．定义域为的函数图象的两个端点为、，是图象上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点 (点与点可以重合)，我们称的最大值为该函数的“曲径”. 则定义域为上的函数的曲径是___________.【答案】【分析】由题意得端点，可求出直线的方程，然后令，利用导数求出函数在上的最值，从而可求得答案.【详解】由题意得端点，则，所以直线的方程为，令（），则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即，因为，，所以，所以，所以，所以的最大值为，即定义域为上的函数的曲径是，故答案为：.16．如图，已知是半径为圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的取值范围是__________． 【答案】【分析】建立如图平面直角坐标系，运用坐标法可得，即可讨论值域【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，，， ， 由，则，即有，∵，∴.故答案为： 三、解答题17．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点. (1)求圆柱的表面积；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】(1)，，，底面圆的半径，圆柱的侧面积为，又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.(2)方法一：连接，平面，平面，；，即，，平面，平面，又平面，；即为二面角的平面角，，，，，即二面角的大小为.方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，是平面的一个法向量，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的大小为，即.18．已知,,为△ABC的三个内角，向量，，且．（1）求的大小；（2）若，求△ABC的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)由题意结合向量垂直的充分必要条件得到三角方程，结合三角形的特征和三角方程可得∠A的大小；(2)由题意结合余弦定理得到的值，然后结合面积公式即可求得△ABC的面积.【详解】（1）由，可得·=0，即·，又，，所以，即，又， ∴，故．（2）在△ABC中，由，可得，即，故，∴．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．已知函数，其中.(1)求的单调区间；(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为、，减区间为(2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）分、两种情况讨论，结合（1）中的结论求出、的表达式，结合导数法与函数的单调性可求得的取值范围.【详解】(1)解：函数的定义域为，，当时，由可得，由可得或，所以，函数的单调递增区间为、，减区间为.(2)解：因为，则，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，，则，所以，，令.①若，则，，故函数在上单调递减，此时；②若，则.综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.20．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围，再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围；（3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围.【详解】(1)因为，所以；又点在图像上即，所以，所以椭圆的方程为；(2)由（1）可得设直线，设、，由得，解得或①∵点在以线段为直径的圆的外部，则，又②解得或    由①②得(3)设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.所以，，.由，，可得：，，所以， 由（2）得，，所以  ，因为，所以，，故的范围是.【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案.21．对于数列，定义为数列的差分数列，其中．如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列．（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；（2）已知数列为差分增数列，且，．若，求非零自然数k的最大值；（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：．【答案】（1）；（2）65；（3）证明见解析．【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于的不等式组，即可求解；（2）根据△△，，，可得△△，△，△，，△，，从而可得，即可求解；（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．【详解】（1）数列1，2，4，，16，24的差分数列为1，2，，，8，由题意可得，解得，故实数的取值范围是．（2）由题意，△，△，因为数列为差分增数列，所以对任意的，都有△△，所以△△，△，同理，△，，△，，所以当时，△△△，所以，解得，所以非零自然数的最大值为65．（3）证明：假设，由题意知，2，3，，，因为项数为的数列所有项的和等于，所以，即，所以，因为数列，2，3，，是差分增数列，所以，所以，因此，所以对任意的，，都有，即，所以，所以与矛盾，故假设不成立，所以．【点睛】关键点睛：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.