2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．设全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得，则，故选：C2．已知，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.【详解】若时，则,因此，若时，比如，但不满足，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为，定义域为R所以所以为奇函数，且，排除CD当时，，即，排除A故选：B.4．已知函数是偶函数，则的值是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解【详解】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，所以，，所以，得，故选：A5．已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（    ）A．1 B．2 C． D．0【答案】A【分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故故选：A6．已知函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】，，，所以.故选：B．7．已知且，则a的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得.【详解】令，则，，又，∴，即，∴.故选：C.8．设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（    ）A． B．1 C． D．0【答案】D【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．令，用导数法求最小值，即有.【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．因为，所以在R上单调递增．不等式可转化为，所以，即对恒成立．令，则，令，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，即，所以，且当时，取最小值0，故，即实数a的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决. 一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在上的最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若，则函数在上单调递增，所以的最小值为，不合题意，则，要使函数在上的最大值为．如果，即，则，解得，不合题意；若，即，则解得即，则．如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，只有函数的图象开口向上，即．当与）有一个交点时，方程有一个根，得，此时函数有二个不同的零点，要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，所以，即实数a的取值范围为．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题 二、填空题10．复数_________.【答案】【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：.故答案为:.11．已知函数的导函数，满足，则等于_______________.【答案】【分析】求导，令，可解得，进而可得.【详解】由，得，令，得，解得，所以，故答案为：.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/ 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为立方米，水价为元，则，整理得到：，当时，；时，；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令，则（立方米），故答案为：.13．函数是定义在上的奇函数，满足，当，时，，则_______．【答案】【分析】根据题意，分析可得，则函数是周期为4的周期函数，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，满足，则，则有，则函数是周期为4的周期函数，则，又由当，时，，则，则，故答案为：．14．已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】分别在条件，下化简不等式，再求其解，由此可得不等式的解集.【详解】当时，即时，，所以不等式可化为，所以且，所以满足条件的不存在，即当时，不等式无解，当时，即时，，此时不等式可化为，得或，解得，所以不等式的解集为，故答案为：.15．已知正数满足，则的最小值为__________．【答案】【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由，得，则，当且仅当，即，，即时取“等号”，所以当时，的最小值为．故答案为： 三、解答题16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求的值；(2)若，的面积为，求边a，b的值.【答案】(1)(2)，或， 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为，由正弦定理得，即，因为，，所以，由为三角形内角得；由，则，所以，，；(2)解：因为的面积，所以①，由余弦定理得，则②，由①②解得，或，17．如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)正弦值为1 【分析】(1)由四棱柱的性质证明，根据线面平行判定定理证明平面；(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求二面角的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱中，，，故四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)因为平面，，平面，所以，，因为，，所以，，所以，，因为，所以，又，所以为等腰直角三角形，所以，因为，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为∴，即，令，则，，∴设直线与平面所成角为，∴.所以直线与平面所成角的正弦值是.(3)平面的法向量为，因为平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以为平面的法向量，所以平面的法向量为∴，∴所以，二面角的正弦值为1.18．已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求在上的解析式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；(3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得，解得，经检验，符合题意.当时，，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，即当时，；(2)当时，恒成立，即恒成立．设，易知在上是减函数，，所以，即实数a的取值范围为；(3)方程在上有两个不相等的实根，即函数在上有两个零点，令，则关于t的方程在上有两个不相等的实根，由于，则直线与的图象有两个交点．如图，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，解得，即实数n的取值范围为．19．设函数，，其中，为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，；(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；（2）构造函数，求导分析单调性与最值，证明当时，即可；（3）结合（1）（2）讨论的正负判断，同时结合与1的大小关系，构造函数，求导放缩判断单调性，进而证明即可.【详解】(1)定义域为，．当时，，在内单调递减；当时，由，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，当时，在内单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)令，则．当时，，单调递增，，所以，从而．(3)由（2）得，当时，．当时，时，，不符合题意． 当时，，由（1）得，当时，，不符合题意． 当时，令，．   在区间上单调递增．又因为，所以当时，，即恒成立．综上，．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知，设函数是的导函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上存在两个不同的零点，①求实数a范围；②证明：．注，其中是自然对数的底数．【答案】(1)(2)① ；②证明见解析 【分析】(1)把代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；(2)①可设，因为，所以与零点相同，可根据的单调性与极值情况来确定的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出与的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当时，，所以．根据点斜式可得曲线在处的切线方程为．(2)①当时，等价于．设，则．当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，因为在区间上存在两个不同的零点，所以，解得．当时，取，则，故，又，所以在区间和上各有一个零点．综上所述：．②设，则，它是上的增函数．又，所以，于是在上递增．所以，即，当时取等号．因为，所以，解得．(1)因为，所以，结合知．处理1：设函数，则，所以当时，递减，当时，递增，所以，所以．处理2：因为，所以，即，当时取等号，所以．由①可知，在上单调递增，且，所以，即．因为在上是减函数，且，且．综上可知：．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．