2023届贵州省黔东南州凯里市第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届贵州省黔东南州凯里市第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届贵州省黔东南州凯里市第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题 一、单选题1．复数满足（是虚数单位），则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值即可.【详解】∵，∴，∴．故选：A．2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为，因此，.故选：C.3．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得到正多边形的边长，通过二者周长相等近似估计圆周率.【详解】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为，边长为，所以，即，故选：D.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为10秒，绿灯的时间为50秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出总时间长度为100秒，不需要等待的时间为50秒，即可得答案.【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为40+10+50=100秒，绿灯的时间为50秒，所以当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为.故选:B．5．各项为正数且公比为q的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据等差中项的性质，建立方程，利用等比数列的通项公式，整理方程，解得公比，可得答案.【详解】因为成等差数列，所以，即，因为数列为各项为正数且公比为q的等比数列，所以，解得或（舍去），则，故选：B．6．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图像的平移变换得到的解析式，从而根据正弦函数的对称轴找到的取值.【详解】将函数图像向右平移个单位长度，得到，注意到，故对称轴为，故选：C.7．曲线在点处的切线方程是，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】，，切点为，切线方程为，∴.故选：A.8．如图是一几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长为（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】由三视图还原出几何图形，再计算各棱长即可得答案.【详解】解：由三视图还原出几何图形如图，其中正视图由面看入，其中，平面与平行，所以，，，，所以最长棱长，故选：D．9．已知函数，则的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数可求得在和上的单调性，由此可排除错误选项.【详解】当时，，则，在上单调递增，BD错误；当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，C错误，A正确.故选：A.10．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出到轴距离就是到焦点的距离减去，接着利用两点之间直线最短而得到答案.【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=.故选：B.11．三棱锥的外接球为球，球的直径，且、都是等边三角形，则三棱锥的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取外接圆圆心，连接的中点即球心与，由球的性质可知与平面垂直，求出、，由勾股定理求出，即可得到到平面的距离，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】解：取外接圆圆心，连接的中点即球心，由球的性质可知与平面垂直，因为，且为等腰直角三角形，所以，在中，，，故，又，故到平面的距离，因此；故选：C.12．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.【详解】因为的定义域为R，，所以函数是奇函数，由，可知在上单调递增，所以函数为R上单调递增的奇函数，所以不等式对任意均成立等价于，即，即对任意均成立，又，当且仅当时取等号，所以的取值范围为.故选：A. 二、填空题13．设,向量,,且∥,则______.【答案】【分析】根据两个向量平行的坐标表示,列方程求解即可.【详解】,,且∥,,解得.故答案为:.14．已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则______.【答案】【分析】由等比中项定义和等差数列通项公式可直接构造方程求得.【详解】由题意得：，，解得：.故答案为：.15．已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为__________．【答案】【分析】将双曲线的方程化为标准方程可得，由双曲线定义可得，再根据椭圆的定义求得a，即可求得离心率．【详解】解：由题意，不妨设P在第一象限，为左焦点 ，双曲线可化为，由双曲线的定义知：，，则，，由椭圆的定义知：，∴ ，∵ 椭圆与双曲线有相同的右焦点，∴ 椭圆的离心率．故答案为：16．如图甲，已知正方体的棱长为分别是线段上的动点，当三棱锥的俯视图如图乙所示时，挖去三棱锥，得到一个几何体模型（该模型为正方体挖去三棱锥后所得的几何体），若利用打印技术制作该模型，且打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.【答案】【分析】由俯视图知，与重合，与重合，在中点处，所以，由正方体性质证明C到面的距离为DM，则，即有模型体积为正方体体积减去，即可计算质量【详解】由俯视图知，与重合，与重合，在中点处，所以，由正方体性质易知，，，平面，∴平面，又，平面，∴平面，∴C到面的距离为DM，∴，∴制作该模型所需原料的质量为克.故答案为： 三、解答题17．在中，角所对的边分别是，已知.(1)求；(2)若，且，求的面积.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用诱导公式及平方关系化解已知条件，解出，进而求出角.（2）通过三角形内角和变换角、两角和与差的正弦公式和倍角公式化解已知条件，再利用正、余弦定理解三角形，进而求出三角形面积.【详解】（1）因为，所以，即，解得，又因为，所以.（2）由，得，整理，得.若，则，则，若，则，.由余弦定理，得，解得综上，的面积为或.18．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产的产品数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x258911y1210887 (1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是们相关；(2)求y关于x的回归方程，并预测生产该产品13千件时，每件产品的非原料成本为多少元?附：参考公式：相关系数，，．参考数据：．【答案】(1)可以用线性回归方程模型拟合与的关系，负相关；(2)，元. 【分析】（1）由相关系数公式计算后判断，（2）由公式得后求解，【详解】（1）由题意得，，，，因而相关系数由于很接近1，说明，线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系．由于，故其关系为负相关．（2）由（1）知，，，则所求的回归方程是．当为13时，可预测．19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，．(1)证明：平面平面；(2)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点为，连接，先用线面垂直的判定定理证明 平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）由等积法结合求解即可【详解】（1）如图，取的中点为，连接．因为，，则，而，故．在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，，，平面，故平面，因为平面，故平面平面．（2）由（1）知平面，底面是正方形，则，，在中，，，所以，由知，所以，所以所以到平面的距离为．20．已知函数，（a为常数）．(1)讨论的单调性；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论求解.（2）利用分离参数法，再通过构造函数，利用导数求函数的单调性、最值进行求解.【详解】（1）函数的定义域为，， ①若，有，函数在上单调递增；②若，有，∴当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增．综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，得， 当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；∴，即，故得，设，∵，当时，，，∴，故函数在上单调递增；∴，故．21．已知椭圆经过点，左焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根据椭圆经过的点和焦点，由待定系数法即可求解.（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得根与系数的关系，进而根据面积公式表达出面积函数，利用换元法以及不等式即可求解最值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，又因为椭圆经过点，所以，又 ，，，所以椭圆的方程为.（2）因为，所以四边形为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆交于，两点，由.由，，，令，则（由上式知），，当且仅当，即时取等号.∴当时，平行四边形的面积最大值为2.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，，在以原点O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，若为弦的中点，求弦长.【答案】(1)或，.(2) 【分析】（1）直线的参数方程消去参数，能求出直线的普通方程；椭圆的极坐标方程化为，由此能求出椭圆的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入，得由此能求出．【详解】（1）当时，的普通方程为；当时，的普通方程为，即.由得，即的直角坐标方程：.（2）将代入整理得依题意得，即，即再由.23．设函数的最小值为.(1)求的值；(2)若正实数满足，证明：.【答案】(1)3(2)证明见解析 【分析】（1）根据绝对值三角不等关系即可求解，（2）根据柯西不等式即可求解.【详解】（1）由，当，即时，等号成立.所以 ，（2）证明：因为均为正实数，，由柯西不等式，，即当且仅当时，取等号.