2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（       ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
【答案】B
【分析】求出集合P中元素，然后求出即可得答案.
【详解】由已知，
又，则
集合M中的元素共有6个
故选：B
2．设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以，
又可化为，即，
当时，，
所以在上恒成立，
所以其中，
当时有最小值为1，此时有最大值为3，
所以，
故实数的取值范围是，
故选：D
3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，
列出方程组求出，，从而得到，
再由，即可求解.
【详解】如图所示，由题意可得，
弧田面积（弦矢+矢矢）（矢+矢矢），
解得矢，或矢（舍去），
设半径为，圆心到弧田的距离为，则，解得，，
所以，所以.
故选：D

4．已知，则的值为（       ）
A． B． C．－ D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】

，
故选：B
5．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先取的中点，连接，，，易证平面，从而得到平面为所求截面，再计算其面积即可.
【详解】取的中点，连接，，，如图所示：

因为，所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面，即平面为所求截面.
所以，.
故选：B
【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（       ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】A
【分析】求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.
【详解】由由题意得 ,
故，则 ，
所以，令，
则，，
当或时，；当时，，
故函数在时取得极大值为，
故选：A.
7．的值是（    ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开式的运算公式，分析出展开前的式子即可.
【详解】.
故选：B.
8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（    ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】利用函数的奇偶性和周期性得到函数的图像，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合，即得解.
【详解】函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，可得为周期为2的奇函数，
可得，又，，
画出函数与的图象，如图所示，

当时，与有5个交点，
当时与有7个交点，
故方程有12个实数根，故D正确．
故选：D
【点睛】本题考查了函数的图像与性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

二、多选题
9．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（    ）
A．变量与具有正相关关系
B．去除后的估计值增加速度变快
C．去除后与去除前均值，不变
D．去除后的回归方程为
【答案】ACD
【解析】A. 根据回归直线方程的x系数的正负判断.B. 根据去除前后x的系数大小判断. C.根据去除前后样本点不变判断. D.根据回归直线方程求解方法可判断.
【详解】因为回归直线方程为，，所以变量x与y具有正相关关系.故A正确.
因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故B错误.
当时，，所以样本点为，
又因为，，所以去掉两个数据点和后，样本点还是，故C正确；
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以，解得，
所以去除后的回归方程为，故D正确.
故选：ACD．
10．如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（       ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9

A．事件A1，A2是互斥事件
B．事件A1，A2是独立事件
C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
【答案】AC
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概念判断AB；利用条件概率公式计算概率判断C；计算判断D.
【详解】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；
B.事件A1，A2不是独立事件，错误；
C.，正确；
D. ，，错误.
故选：AC.
11．在正四面体中，若，则下列说法正确的是（    ）
A．该四面体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
【答案】ACD
【分析】结合正四面体的性质结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】
正四面体中，，图中点为外接球的球心，半径为，为的外心，
所以，由于，
又因为，所以，解得，
因此外接球的表面积为，故A正确；
由于，且与平面所成的角为，
因此，故B错误；
因为于，所以;于，所以;
因此当与点重合时，最小，最小值为，故C正确；
在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，连接,
又因为，所以平面，因此平面即为所求，

则的周长为，
同理在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，
连接,可得平面，而平面即为所求，
，
则的周长为，故D正确.
故选：ACD.
12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数（），（），（为自然对数的底数），则（    ）
A．在内单调递增
B．和间存在“隔离直线”，且的取值范围是
C．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】AD
【分析】令，利用导数可确定单调性，判断A；设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；求得的范围，可判断BC；假设隔离直线为，分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，判断D.
【详解】A：令，，
∴，故在内单调递增，故A正确；
对于B，C：设，的隔离直线为，则对任意恒成立，
故对任意恒成立，
由对任意恒成立，得
若，则符合题意，
若，则对任意都成立，
又因为的对称轴为，从而，
所以，
又的对称轴为，
，即且，
∴，故，
同理可得，即，故BC错误；
D：函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率，则隔离直线方程，即，
由（）恒成立，
若，则，（）不恒成立，
若，由（）恒成立，
令，（），则在上单调递增，，
故不恒成立，不符合题意，
故，可得在时恒成立，
的对称轴为，
则时只有，此时直线，
下面证明，
令，则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值0，也是最小值，
所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故D正确.
故选：AD.

三、填空题
13．已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
【答案】25
【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值．
【详解】解：随机变量服从正态分布，，
由，得，
又，
，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值为25．
故答案为：25．
14．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有_______．
【答案】300
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，
②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有种不同的顺序，
故答案为：．
【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15．_____.
【答案】
【分析】通分利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；
【详解】解：







故答案为：
16．已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.
【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，
即+m=0有两个不同的解，解之得
即或
因为的导函数
，令，解得x>e，，解得0