2023届湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高三上学期9月月考数学试题含解析

2023届湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则=（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.

【详解】解不等式得：，即，解不等式得：，即，

所以.

故选：C

2．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．以上都不正确

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义和单调性即得.

【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以，

解得：.

故选：B.

3．设函数，若，，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的函数，分析其奇偶性、单调性，再比较的大小即可判断作答.

【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的偶函数，

当时，在上单调递增，而，

因此，而，

所以.

故选：D

4．函数在区间上的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.

【详解】，

为奇函数，排除A；

又，排除B；

，即，排除C，

故选：D

5．已知函数且，则“”是“在上单调递增”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】若在R上单调递增，

则，

所以，

由“”可推出“”，但由“”推不出 “”，

所以“”是“在R上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

6．若，则的最小值为（     ）

A．4 B．8 C．9 D．16

【答案】C

【分析】由题可得，然后利用“1”的妙用结合均值不等式即得.

【详解】由题意，得，，且，

所以，即，

所以，

因此，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

故选：C.

7．若直线是曲线与的公切线，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.

【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，

又，，

所以，，

由点在切线上，得切线方程为；

由点在切线上，得切线方程为，

故，

解得，，

故.

故选：B.

8．已知函数满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.

【详解】，

令得：，

因为，所以，

令，得：，

即，

则，

上面两式子联立得：，

所以，

故，

故是以6为周期的函数，

且

，

所以

故选：A

二、多选题

9．已知，则下列大小关系中不正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据给定的不等式，利用指数函数单调性确定实数a，b的大小关系，再逐项判断作答.

【详解】因，则，因此，A不正确；，B正确；

，C不正确；而，即有，D不正确.

故选：ACD

10．下列说法中正确的是（     ）

A．若集合只有2个子集，则

B．命题“”的否定是“”

C．不等式的解集是

D．是R上的奇函数，当时，，则当时，

【答案】BD

【分析】分析集合A的元素个数判断A；写出存在量词命题的否定判断B；解对数不等式判断C；由奇偶性求解析式判断D作答.

【详解】因集合A只有两个子集，于是得集合A中只有一个元素，当时，集合A中只有一个元素-1，

当时，由，得，集合A中只有一个元素-2，因此或，A不正确；

命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，它是：，B正确；

不等式，解得，即原不等式的解集为，C不正确；

是R上的奇函数，当时，，则当时，，，D正确.

故选：BD

11．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．在区间上单调递增

C．是R上的偶函数

D．函数有6个零点

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，分析函数的性质，结合指定区间上的解析式，逐项分析计算、判断作答.

【详解】对都有，则，即函数是周期函数，周期为4，

函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，又函数的图像关于点对称，

因此函数的图象关于点对称，即函数是R上的奇函数，

当时，，即函数在上递增，在上单调递增，

而，因此在上递增，

由得：，则的图象关于直线对称，函数在上递减，

对于A，，A正确；

对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B正确；

对于C，因，即有，函数不是R上的偶函数，C不正确；

对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图象的交点在内，

观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，所以函数有6个零点，D正确.

故选：ABD

12．已知定义在上的函数满足，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据给定的等式，变形并构造函数，探讨函数的单调性，再逐项分析判断作答.

【详解】，，

令，则，即，

显然在上单调递增，有，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，有，即，A正确；

，则，即，B不正确；

，则，即，C正确；

因，则令，C为常数，

，即，

则，即，D不正确.

故选：AC

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的等式或不等式，根据等式或不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

三、填空题

13．函数的单调递增区间为______

【答案】

【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.

【详解】令，解得或，

故函数的定义域为.

∵在R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上单调递减，在上单调递增，

故函数的单调递增区间为.

故答案为：.

14．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.

【详解】由已知得，故，即，则.

故答案为：1．

15．若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________

【答案】

【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数最小值即可作答.

【详解】，，令，，求导得：，

当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，

因此当时，，则，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数，则不等式的解集为______________．

【答案】

【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.

【详解】令，定义域为R，

且，

所以为奇函数，

变形为，

即，

其，当且仅当，即时，等号成立，

所以在R上单调递增，

所以，解得：，

所以解集为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求，；

(2)若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)；或；

(2).

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.

（2）由（1）的结论，利用集合的包含关系列式求解作答.

【详解】（1）解不等式，即，解得或，则或，

所以，而或，则或.

（2）由（1）知，，因，

当，即，时，满足，则，

当时，，解得，于是得，

所以实数的取值范围是.

18．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)当时，不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求解作答.

（2）变形给定的不等式，构造函数并求出函数的最大值，即可作答.

【详解】（1）依题意，设，则，

于是得，解得，有，，解得，

所以的解析式是.

（2）由（1）知，不等式，令，

依题意，存在，成立，而，则当时，，即，

所以实数的取值范围是.

19．已知函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间与极值.

【答案】(1)；

(2)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，计算出和的值，利用点斜式写出切线的方程；

（2）解方程，然后列表对函数进行分析，可得出函数的单调区间和极值.

【详解】（1）∵，

，

，，

因此，函数在点处的切线方程为，即；

（2）因为，

令，得或，

当变化时，，变化如下：

因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.

20．已知函数．

(1)当时，求函数在上的值域；

(2)若函数与轴有交点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把代入，利用指数函数单调性，借助二次函数求解值域作答；

（2）把函数与轴有交点问题转化为方程有解，构造函数求出值域作答.

【详解】（1）当时，，当时，，

当，即时，，当，即时，，

所以函数在上的值域是.

（2）函数与轴有交点，即方程有解，由得，，

而函数在R上单调递减，其值域为，因此，解得，

所以实数的取值范围是.

21．已知定义在R上的函数满足．

(1)求、的值；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据，可得，再由即可求解；

（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据二次不等式恒成立即得.

【详解】（1）因为定义在R上的函数满足，

所以，即，

解得，从而有，

又由，知，解得，

经检验，当时，，满足题意，

所以，；

（2）由（1）知，

所以在R上为减函数，

由题可知函数是奇函数，

从而不等式，

等价于.

因为是R上的减函数，

所以，

即对一切有，

从而，解得，

∴k的取值范围为.

22．已知函数

（1）若，试讨论的单调性；

（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；

（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，

分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.

【详解】（1）依题意，当时，，

①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；

②当时，若，；若，；

故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）方法1：由得

令，则，

依题意有，即，

要证，只需证（不妨设），

即证，

令，设，则，

在单调递减，即，从而有.

方法2：由得

令，则，

当时，时，

故在上单调递增，在上单调递减，

不妨设，则，

要证，只需证，易知，

故只需证，即证

令，（），

则

==，

（也可代入后再求导）

在上单调递减，，

故对于时，总有.由此得

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.