2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知全集，设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由补集和交集的概念求解即可.【详解】，所以．故选：A.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数模长的性质求解即可.【详解】由可得，故.故选：B3．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对命题进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B．4．设等差数列的前项的和为，若，则（    ）A．17 B．34 C．51 D．102【答案】B【分析】根据等差数列通项求公差，进而根据求和公式即可求解.【详解】设公差为，则由得，即，故.故选：B5．函数的图像大致为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，当时，为减函数，故选:A．6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.【详解】因为，则,故选:D．7．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根据三个“二次”的关系可知，和是方程的两根，由韦达定理求出，即可将化成关于的式子，变形，由基本不等式即可求出其最小值．【详解】根据题意可得和是方程的两根且，即，.故，当且仅当时，等号成立.故选：A．8．​， 则（    ）A．​ B．​C．​ D．​【答案】A【分析】通过构造函数，由函数的单调性比较的大小，再构造函数，判断其单调性后比较的大小，从而可得结果.【详解】构造，，则，令，则，所以在上递减，所以，所以，所以在上递减，所以，所以，所以，即，所以，令（），则，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，即故​.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，通过判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题. 二、多选题9．的内角，，的对边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则符合条件的有两个【答案】AB【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可.【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，又因为正弦定理，所以，故A正确；对B选项，由可得，，为钝角三角形，故B正确:对C选项，由可得，，或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由正弦定理得，故不存在满足条件的，故D错误.故选：AB.10．已知，则 （    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对A，对两边同除ab化简即可判断；对B，对不等式移项进行因式分解得，即可进一步判断的符号不确定，即可判断；对C，对不等式移项进行因式分解得，由即可判断；对D，对不等式移项进行根式运算得，即可进一步判断【详解】对A，，A正确；对B，，∵，∴，不等式不一定成立，B错误；对C，，∵，∴，不等式成立，C正确；对D，，所以，不等式不成立，D错误；故选：AC．11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.12．已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由是偶函数得出是奇函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．【详解】是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确；故选：AD． 三、填空题13．函数的部分图象如图所示， 求函数的解析式_____．【答案】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，根据最大值求出的值，根据最大值点求出的值得解.【详解】解：由题得函数的最小正周期为.由图得. 所以.又，所以.时，.所以.故答案为：14．设正项等比数列的前项和为，且，则______【答案】【分析】由条件可得，然后利用求出的值，然后可算出答案.【详解】因为，所以，所以，又数列是正项数列，所以，所以.故答案为：15．过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________．【答案】0.5【分析】可设切点的坐标为 , 求出函数的导数, 由导数的几何意义可得切线的斜率，又由切线经过原点，从而可得切线方程，将切点代入即可解可得的值，从而得出答案.【详解】由题意得，设切点的坐标为，的导数，则有，即切线的斜率，又因为切线经过原点，设切线方程为，将切点代入得，化简得，所以.故答案为：.16．如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为___________．【答案】1【分析】利用转化法求出，再求出的最大值即可.【详解】取的中点，连接，，由，，由，得四点共圆，且直径为．则 ，所以 ．故答案为：1. 四、解答题17．已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.(1)证明数列为等比数列；(2)求满足不等式的正整数的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3 【分析】（1）由已知可得，化简得（），则有，两式相减化简可证得结论，（2）由（1）将不等式化为，然后分为奇数和偶数两种情况求解即可.【详解】(1)因为，，（）总是成等差数列，所以（），整理得（），所以，所以，所以，所以，因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，(2)由（1）可得，因为，所以，所以，当为奇数时，，得，解得，当为偶数时，，得，解得，此时无解综上得正整数n的最小值为3.18．若数列的前项和为，且满足：，等差数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)． 【分析】（1）根据等比数列的定义可求出数列的通项公式，再根据等差数列基本量的计算可求出数列的通项公式；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】(1)由可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，，所以公差，即．(2)因为，所以，∴，∴．∴．19．已知函数.(1)求的对称中心，并求当时，的值域；(2)若函数的图像与函数的图像关于y轴对称，求在区间上的单调递增区间.【答案】(1)对称中心：，，值域：(2) 【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数，再结合正弦型函数的对称中心公式，即可得到对称中心，结合正弦函数的图像即可求得其值域.（2）由（1）中的解析式，根据对称变换即可得到函数的解析式，再结合正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】(1)因为函数令，解得，即对称中心当时，则，再结合三角函数图像可得所以，函数对称中心：，，值域：.(2)因为函数的图像与函数的图像关于y轴对称，则，令，，解得当时，即为所以当时，的单调递增区间：.20．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角所对的边分别是，若___________.(1)求角；(2)若，且的面积，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）选①：由余弦的二倍角公式化简可求的值，结合角的范围即可求角；选②：由切化弦结合正弦定理化边为角可求的值，结合角的范围即可求角； 选③：由结合正弦定理化角为边可得，再根据余弦定理即可求角；（2）根据三角形面积公式可得，再根据余弦定理求解可得的取值范围，进而得到周长的取值范围即可.【详解】(1)选①：∵，∴，即，∴ 或，∵，∴，，选②：，，即，∵，∴ ，，∴ ，∵，∴，选③：由内角和定理得：，∴，由正弦定理边角互化得：，即，∴，∵，∴，(2)由题意，故，即.由（1），余弦定理可得，即，故，所以，故，即的周长的取值范围为21．已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若存在实数，使得对任意，总存在，满足，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，再求得，即可得切线方程；（2）求出导函数，分类讨论确定的单调性，满足题意的，需要函数在是增函数即可得．【详解】(1)，，，，所以曲线在处的切线方程为．(2)由已知定义域是，，若，则当时，，当时，所以在上递增，在上递减，，当时，令，因为当时，，所以不存在，使得当时，在上递减，令，则不存在，使得所以，不满足题意．下面证明都满足题意．设，则，因为当时，，所以在上是增函数．若，则当时，，所以当时，进而函数在上递增，取，满足题意．若，则，而当时，，所以存在，使得，当时，进而函数在上递增，取，满足题意．综上，实数a的取值范围为．【点睛】难点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，参数范围问题的解题关键是问题的转化，要满足题意只要存在，使得函数在上单调递增，由此只要用导数确定函数的单调性即得，本题研究单调性需要二次求导，即对导函数中的部分函数求导确定单调性、函数值的正负．22．已知函数．(1)讨论函数极值点的个数；(2)若函数在定义域内有两个不同的零点，，①求a的取值范围；②证明：．【答案】(1)当时，无极值点；当时，有一个极小值点(2)① ；②证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可求出函数的极值点；（2）①依题意参变分离可得在有两个不等实根，设，利用导数得到函数的单调性，求出函数的极大值，再根据函数值的取值情况，求出的取值范围；②不妨设，则，依题意即证，令，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明；【详解】(1)解：的定义域为，当时，，在上单调递减，无极值点；当时，令，得．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，故时，取得极小值．综上，当时，无极值点；当时，有一个极小值点．(2)解：①由题意，方程在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，，过点，则，令得，，时，，单调递增，时，，单调递减，且当时，，当时，，时，，故实数的取值范围为．②不妨设，由已知得，，两式相减得，，要证，只需证，只需证，只需证，即证．令，上述不等式变形为，令，则，，所以在上单调递减，又，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，故，即，原不等式得证．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．