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重庆市第八中学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
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这是一份重庆市第八中学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
2022-2023学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】
∵，
∴最小的数是-3，
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成．
2．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
【详解】
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．在平面直角坐标系中，点P坐标为(1，2)，则点P在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【解析】
【分析】
根据第一象限的点的特点（横坐标大于0，纵坐标大于0）判断即可．
【详解】
解：∵1＞0，2＞0，
∴点P（1，2）在第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握象限内的点的符号特点．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．已知一次函数解析式为，那么该函数图像在平面直角坐标系中会经过（ ）
A．一二三象限 B．一二四象限 C．一三四象限 D．二三四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数图象与性质即可求解．
【详解】
解：一次函数解析式为，
∵3＞0，
∴该函数图像在平面直角坐标系中经过一、三象限，
∵-2＜0，
∴该函数图像在平面直角坐标系中与y轴相交于负半轴，
∴该函数图像在平面直角坐标系中经过一、三、四象限；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，5)，点B(3，5)，则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可求得两点之间的距离．
【详解】
已知点A(－2，5)，点B(3，5)，则线段AB的长度为
故选D
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
7．在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SSS判定即可得出答案．
【详解】
在和中，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键．
8．按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的，的值分别是（ ）
A．5，-2 B．3，-3 C．-3，-9 D．-4，2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据运算程序，结合输出结果确定出的值即可．
【详解】
解：根据题意得：，
则，的值可以为，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的等量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】
解：设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，与x轴、y轴分别交于点A和点B，在区域内（不含边界）的点有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出直线AB、OC的解析式，然后将选项中各点横坐标代入解析式中求纵坐标，最后进行比较即可．
【详解】
解：将代入中，
可得：，
∴直线AB的解析式为，
设直线OC的解析式为，
将代入可得：，
∴直线OC的解析式为，
A、将代入，得，所以在外部，选项说法错误，不符合题意；
B、因为C点坐标为，所以在内部，选项说法正确，符合题意；
C、将代入，得，所以在边界上，选项说法错误，不符合题意；
D、将代入，得，所以在外部，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式以及性质，解题的关键是正确求解解析式．
11．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，则＝（ ）
A．20 B．11 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC2，则可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-5=11，
则S2=AC2=11，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
评卷人
得分
二、多选题
12．小明一家人开汽车到360千米处的A地旅游，路程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，小明一家在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．汽车在高速公路上的行驶速度为 B．普通公路总长180千米
C．汽车在普通公路上的行驶速度为 D．小明在出发3.5h后到达A地
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．
【详解】
解：A、汽车在高速公路上的行驶速度为 ，故本选项正确，符合题意；
B、普通公路总长为 ，故本选项正确，符合题意；
C、汽车在普通公路上的行驶速度为 ，故本选项正确，符合题意；
D、小明到达A地用时 ，即小明在出发5h后到达A地，故本选项错误，不符合题意；
故选：ABC
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决函数问题是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
三、填空题
13．化简：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】
∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】
本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
14．点P(2，-5)关于y轴对称的点的坐标为________ .
【答案】(-2,-5)
【解析】
【分析】
【详解】
解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是：（-2，﹣5）．
故答案为（-2，﹣5）．
15．如图，直线与直线交于点E(3，1)，则关于x，y的二元一次方程组的解为___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】
解：∵直线与直线交于点E(3，1)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16．如图，在 中，于点D，于点E，交AD于点F，已知，则线段BF的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明AD＝BD，求出AC，再证明∠1＝∠2，再加上条件∠BDA＝∠ADC＝90°，即可利用ASA证明△BFD≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等可得AC＝BF．
【详解】
解：∵AD⊥BC，∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD=4，
∴AC=
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△BFD和△ACD中
，
∴△BFD≌△ACD（ASA），
∴BF＝AC＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是证明△BFD≌△ACD．
17．如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作出点A关于x轴的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：作出点A关于x轴的对称点，连接，
由两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，
过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，如图，
∵，
∴BD=3+1=4，
在Rt△中，
即AC＋BC的最小值为5，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握并应用两点之间，线段最短是解答本题的关键．
18．如图，在中，，点D是边AB的中点，过点D作于点M，延长DM至点E，且，连接AE交BC于点N，若，则点N到BE的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意证明DM时三角形ABC的中位线，得出CM=BM，然后证明出△CAN≌△MEN，得出CN=MN，然后求出EM和NB的长度，然后根据勾股定理求出BE的长度，最后根据等面积法即可求出点N到BE的距离．
【详解】
解：如图所示，作NH⊥BE于点H，
∵，，
∴，
又∵点D是边AB的中点，
∴DM是三角形ABC的中位线，
∴CM=BM，
∴在△ABC中，，
∴CM=BM，
在△CAN和△EMN中，
∴△CAN≌△MEN，
∴CN=MN=，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
∴点N到BE的距离为．
【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，三角形全等的性质和判定方法．
19．如图，在平面直角坐标系中，的横坐标分别为分别以为边作等边三角形，一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，运动路径则蚂蚁在40秒时的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
从起点开始，分别计算前几个数据，当从时，路程为，当时，路程为，找到规律，进而计算40秒时，点的位置即可．
【详解】
根据题意，的过程中，
路程和为
即
秒
一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，
即40秒时的位置位于从运动 过程中运行了4秒的位置，即在线段上点的位置，过点作轴于点，如图，
是等边三角形，
则
中，
即蚂蚁在40秒时的坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，勾股定理，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键．
20．某学校八年级举行了二元一次方程组速算比赛，并按学生的得分高低对前100名进行表彰奖励，原计划一等奖表彰10人，二等奖表彰30人，三等奖表彰60人，经协商后调整为一等奖表彰20人，二等奖表彰40人，三等奖表彰40人，调整后一等奖平均分降低4.5分，二等奖平均分降低2.5分，三等奖平均分降低0.5分，若调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分，则调整后二等奖平均分比三等奖平均分高_________分．
【答案】8.9
【解析】
【分析】
先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变列出方程，再根据调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分列出方程，由此可求得调整后二等奖平均分比三等奖平均分高多少即可．
【详解】
解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，
∵总分不变，
∴10x+30y+60z＝20（x﹣4.5）+40（y﹣2.5）+40（z﹣0.5），
整理可得：x+y﹣2z＝21①，
∵调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分，
∴x﹣y＝0.8②，
由②得：x＝y+0.8③，
将③代入①得：y+0.8+y﹣2z＝21，
∴2y﹣2z＝21.8，
∴y﹣z＝10.9，
∴（y﹣2.5）﹣（z﹣0.5）＝y﹣2.5﹣z+0.5
＝y﹣z﹣2
＝10.9﹣2
＝8.9，
故答案为：8.9．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，再利用消元思想求解．
评卷人
得分
四、解答题
21．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值、二次根式以及零指数幂的运算，求解即可；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：（1）
（2）
①+②得：，解得
将代入①式得：，解得
方程组的解集为
【点睛】
此题考查了实数的有关运算和二元一次方程组的求解，涉及了绝对值，二次根式以及零指数幂等知识，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
22．某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
“社会主义核心价值观”了解情况条形统计图：
“社会主义核心价值观”了解情况扇形统计图：
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图在D对应的圆心角为度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“非常了解”的学生有多少人？
【答案】（1）60，18；（2）15，补图见解答；（3）450．
【解析】
【分析】
（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
（2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该校的总人数乘以“非常了解”的人数所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%=60（名），
扇形统计图中D对应的圆心角为360°×=18°，
故答案为：60，18；
（2）60×25%=15（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）1800×=450（人），
答：估计该校选择“非常了解”的学生有450人．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
23．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）请直接写出点的坐标；
（3）请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A1（-5，4），B1（-1，2），C1（-3，-3）；（3）12．
【解析】
【分析】
（1）首先确定△ABC三个顶点的对称点位置，再连接即可；
（2）利用坐标系可写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A1（-5，4），B1（-1，2），C1（-3，-3）．
（3）△A1B1C1的面积：4×7-×4×2-×5×2-×2×7=12．
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，熟练掌握轴对称与坐标变换的规律并正确确定组成图形的关键点的对称点位置是解题的关键．
24．如图，在中，点D是线段上AB上一点，BD＝6，连接CD，CD＝8．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由BC=10，CD=8，BD=6，计算得出BD2+DC2=BC2，根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB；
（2）设AD=x，则AB=AC=x+6，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．
【详解】
解：（1）在△BCD中，BC=10，CD=8，BD=6，
∵6²+8²=10²
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）设AD=x，则AC=AB=x+6，
在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2，
∴82+x2=（x+6）2，
解得：x=．
∴△ABC的周长为：（+6）×2+10=．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度．
25．学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉．
（1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
（2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货n辆来运输这批花卉，一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？
【答案】（1）1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉；（2）共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车．
【解析】
【分析】
（1）设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y 盆花卉，根据题目中已知的两种数量关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据（1）所求结果，可得，结合m，n为正整数，即可得出各运输方案．
【详解】
解：（1）1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，依题意得：
，
解得．
答：甲型货车每辆可装载500盆花卉，乙型货车每辆可装载400盆花卉．
（2）由题意得：，
∴．
∵m，n为正整数，
∴或或．
∴共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的整数解应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程并求出整数解．
26．已知关于的二元一次方程组的解满足，求实数，，m的值．
【答案】，，．
【解析】
【分析】
根据二元一次方程组的解的概念将变形为，利用代入消元法分别求得，，再将其代入方程②即可求出m的值．
【详解】
解：，
∵关于的二元一次方程组的解满足，
∴③，
将③代入①，得，
解得：，
∴．
将，代入②，得，
∴．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的概念及代入消元法和加减消元法求二元一次方程组解的方法是解题的关键．
27．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数” ，因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
【答案】（1）9，12，16不是“派生勾股数”； 10，24，26是“派生勾股数”；（2）15、36、39；15、36、39；21、72、75；27、120、123；22、180、183
【解析】
【分析】
（1）根据派生勾股数的定义，即把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数” ，判断即可；
（2）根据一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”求解即可；
【详解】
解：（1）由已知数据可得，，，
∵不是整数，且，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
由已知数据可得，，，且，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）∵一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”，
∴设直角边为x，则斜边为，由勾股定理可得另一条直角边为，
∵，
∴，且是平方数，
∴当时，成立，此时勾股数为9、12、15；
当时，成立，此时勾股数为15、36、39；
当时，成立，此时勾股数为21、72、75；
当时，成立，此时勾股数为27、120、123；
当时，成立，此时勾股数为22、180、183；
【点睛】
本题主要考查了勾股数的应用，准确分析计算是解题的关键．
28．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【详解】
解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为
令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
29．在 中，，点P与点Q是线段AB上的两点，连接CP，过点A作于点M，过点Q作于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若求证；
（3）如图3，若点Q是线段AB的中点，，请直接写出线段QN的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明，得是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质进行证明即可；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，证明得,，再证明得CM=BG，从而可得结论；
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，由勾股定理求出，得，证明，根据相似三角形的性质可求出，，再证明，求出，，再利用可求出NF的值，最后根据QN=QF-NF计算即可
【详解】
解：（1）在 中，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，如图，
∵PB=PQ，
∴
∴,
∵，
∴
在和中
∴
∴CM=BG
∵
∴
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，
∵,，，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵Q为AB的中点
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质与运用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
绝密★启用前
2022-2023学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】
∵，
∴最小的数是-3，
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成．
2．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
【详解】
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．在平面直角坐标系中，点P坐标为(1，2)，则点P在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【解析】
【分析】
根据第一象限的点的特点（横坐标大于0，纵坐标大于0）判断即可．
【详解】
解：∵1＞0，2＞0，
∴点P（1，2）在第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握象限内的点的符号特点．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．已知一次函数解析式为，那么该函数图像在平面直角坐标系中会经过（ ）
A．一二三象限 B．一二四象限 C．一三四象限 D．二三四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数图象与性质即可求解．
【详解】
解：一次函数解析式为，
∵3＞0，
∴该函数图像在平面直角坐标系中经过一、三象限，
∵-2＜0，
∴该函数图像在平面直角坐标系中与y轴相交于负半轴，
∴该函数图像在平面直角坐标系中经过一、三、四象限；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，5)，点B(3，5)，则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可求得两点之间的距离．
【详解】
已知点A(－2，5)，点B(3，5)，则线段AB的长度为
故选D
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
7．在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SSS判定即可得出答案．
【详解】
在和中，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键．
8．按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的，的值分别是（ ）
A．5，-2 B．3，-3 C．-3，-9 D．-4，2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据运算程序，结合输出结果确定出的值即可．
【详解】
解：根据题意得：，
则，的值可以为，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的等量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】
解：设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，与x轴、y轴分别交于点A和点B，在区域内（不含边界）的点有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出直线AB、OC的解析式，然后将选项中各点横坐标代入解析式中求纵坐标，最后进行比较即可．
【详解】
解：将代入中，
可得：，
∴直线AB的解析式为，
设直线OC的解析式为，
将代入可得：，
∴直线OC的解析式为，
A、将代入，得，所以在外部，选项说法错误，不符合题意；
B、因为C点坐标为，所以在内部，选项说法正确，符合题意；
C、将代入，得，所以在边界上，选项说法错误，不符合题意；
D、将代入，得，所以在外部，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式以及性质，解题的关键是正确求解解析式．
11．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，则＝（ ）
A．20 B．11 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC2，则可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-5=11，
则S2=AC2=11，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
评卷人
得分
二、多选题
12．小明一家人开汽车到360千米处的A地旅游，路程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，小明一家在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．汽车在高速公路上的行驶速度为 B．普通公路总长180千米
C．汽车在普通公路上的行驶速度为 D．小明在出发3.5h后到达A地
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．
【详解】
解：A、汽车在高速公路上的行驶速度为 ，故本选项正确，符合题意；
B、普通公路总长为 ，故本选项正确，符合题意；
C、汽车在普通公路上的行驶速度为 ，故本选项正确，符合题意；
D、小明到达A地用时 ，即小明在出发5h后到达A地，故本选项错误，不符合题意；
故选：ABC
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决函数问题是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
三、填空题
13．化简：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】
∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】
本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
14．点P(2，-5)关于y轴对称的点的坐标为________ .
【答案】(-2,-5)
【解析】
【分析】
【详解】
解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是：（-2，﹣5）．
故答案为（-2，﹣5）．
15．如图，直线与直线交于点E(3，1)，则关于x，y的二元一次方程组的解为___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】
解：∵直线与直线交于点E(3，1)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16．如图，在 中，于点D，于点E，交AD于点F，已知，则线段BF的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明AD＝BD，求出AC，再证明∠1＝∠2，再加上条件∠BDA＝∠ADC＝90°，即可利用ASA证明△BFD≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等可得AC＝BF．
【详解】
解：∵AD⊥BC，∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD=4，
∴AC=
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△BFD和△ACD中
，
∴△BFD≌△ACD（ASA），
∴BF＝AC＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是证明△BFD≌△ACD．
17．如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作出点A关于x轴的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：作出点A关于x轴的对称点，连接，
由两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，
过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，如图，
∵，
∴BD=3+1=4，
在Rt△中，
即AC＋BC的最小值为5，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握并应用两点之间，线段最短是解答本题的关键．
18．如图，在中，，点D是边AB的中点，过点D作于点M，延长DM至点E，且，连接AE交BC于点N，若，则点N到BE的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意证明DM时三角形ABC的中位线，得出CM=BM，然后证明出△CAN≌△MEN，得出CN=MN，然后求出EM和NB的长度，然后根据勾股定理求出BE的长度，最后根据等面积法即可求出点N到BE的距离．
【详解】
解：如图所示，作NH⊥BE于点H，
∵，，
∴，
又∵点D是边AB的中点，
∴DM是三角形ABC的中位线，
∴CM=BM，
∴在△ABC中，，
∴CM=BM，
在△CAN和△EMN中，
∴△CAN≌△MEN，
∴CN=MN=，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
∴点N到BE的距离为．
【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，三角形全等的性质和判定方法．
19．如图，在平面直角坐标系中，的横坐标分别为分别以为边作等边三角形，一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，运动路径则蚂蚁在40秒时的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
从起点开始，分别计算前几个数据，当从时，路程为，当时，路程为，找到规律，进而计算40秒时，点的位置即可．
【详解】
根据题意，的过程中，
路程和为
即
秒
一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，
即40秒时的位置位于从运动 过程中运行了4秒的位置，即在线段上点的位置，过点作轴于点，如图，
是等边三角形，
则
中，
即蚂蚁在40秒时的坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，勾股定理，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键．
20．某学校八年级举行了二元一次方程组速算比赛，并按学生的得分高低对前100名进行表彰奖励，原计划一等奖表彰10人，二等奖表彰30人，三等奖表彰60人，经协商后调整为一等奖表彰20人，二等奖表彰40人，三等奖表彰40人，调整后一等奖平均分降低4.5分，二等奖平均分降低2.5分，三等奖平均分降低0.5分，若调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分，则调整后二等奖平均分比三等奖平均分高_________分．
【答案】8.9
【解析】
【分析】
先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变列出方程，再根据调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分列出方程，由此可求得调整后二等奖平均分比三等奖平均分高多少即可．
【详解】
解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，
∵总分不变，
∴10x+30y+60z＝20（x﹣4.5）+40（y﹣2.5）+40（z﹣0.5），
整理可得：x+y﹣2z＝21①，
∵调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分，
∴x﹣y＝0.8②，
由②得：x＝y+0.8③，
将③代入①得：y+0.8+y﹣2z＝21，
∴2y﹣2z＝21.8，
∴y﹣z＝10.9，
∴（y﹣2.5）﹣（z﹣0.5）＝y﹣2.5﹣z+0.5
＝y﹣z﹣2
＝10.9﹣2
＝8.9，
故答案为：8.9．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，再利用消元思想求解．
评卷人
得分
四、解答题
21．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值、二次根式以及零指数幂的运算，求解即可；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：（1）
（2）
①+②得：，解得
将代入①式得：，解得
方程组的解集为
【点睛】
此题考查了实数的有关运算和二元一次方程组的求解，涉及了绝对值，二次根式以及零指数幂等知识，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
22．某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
“社会主义核心价值观”了解情况条形统计图：
“社会主义核心价值观”了解情况扇形统计图：
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图在D对应的圆心角为度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“非常了解”的学生有多少人？
【答案】（1）60，18；（2）15，补图见解答；（3）450．
【解析】
【分析】
（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
（2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该校的总人数乘以“非常了解”的人数所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%=60（名），
扇形统计图中D对应的圆心角为360°×=18°，
故答案为：60，18；
（2）60×25%=15（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）1800×=450（人），
答：估计该校选择“非常了解”的学生有450人．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
23．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）请直接写出点的坐标；
（3）请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A1（-5，4），B1（-1，2），C1（-3，-3）；（3）12．
【解析】
【分析】
（1）首先确定△ABC三个顶点的对称点位置，再连接即可；
（2）利用坐标系可写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A1（-5，4），B1（-1，2），C1（-3，-3）．
（3）△A1B1C1的面积：4×7-×4×2-×5×2-×2×7=12．
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，熟练掌握轴对称与坐标变换的规律并正确确定组成图形的关键点的对称点位置是解题的关键．
24．如图，在中，点D是线段上AB上一点，BD＝6，连接CD，CD＝8．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由BC=10，CD=8，BD=6，计算得出BD2+DC2=BC2，根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB；
（2）设AD=x，则AB=AC=x+6，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．
【详解】
解：（1）在△BCD中，BC=10，CD=8，BD=6，
∵6²+8²=10²
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）设AD=x，则AC=AB=x+6，
在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2，
∴82+x2=（x+6）2，
解得：x=．
∴△ABC的周长为：（+6）×2+10=．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度．
25．学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉．
（1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
（2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货n辆来运输这批花卉，一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？
【答案】（1）1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉；（2）共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车．
【解析】
【分析】
（1）设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y 盆花卉，根据题目中已知的两种数量关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据（1）所求结果，可得，结合m，n为正整数，即可得出各运输方案．
【详解】
解：（1）1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，依题意得：
，
解得．
答：甲型货车每辆可装载500盆花卉，乙型货车每辆可装载400盆花卉．
（2）由题意得：，
∴．
∵m，n为正整数，
∴或或．
∴共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的整数解应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程并求出整数解．
26．已知关于的二元一次方程组的解满足，求实数，，m的值．
【答案】，，．
【解析】
【分析】
根据二元一次方程组的解的概念将变形为，利用代入消元法分别求得，，再将其代入方程②即可求出m的值．
【详解】
解：，
∵关于的二元一次方程组的解满足，
∴③，
将③代入①，得，
解得：，
∴．
将，代入②，得，
∴．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的概念及代入消元法和加减消元法求二元一次方程组解的方法是解题的关键．
27．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数” ，因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
【答案】（1）9，12，16不是“派生勾股数”； 10，24，26是“派生勾股数”；（2）15、36、39；15、36、39；21、72、75；27、120、123；22、180、183
【解析】
【分析】
（1）根据派生勾股数的定义，即把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数” ，判断即可；
（2）根据一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”求解即可；
【详解】
解：（1）由已知数据可得，，，
∵不是整数，且，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
由已知数据可得，，，且，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）∵一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”，
∴设直角边为x，则斜边为，由勾股定理可得另一条直角边为，
∵，
∴，且是平方数，
∴当时，成立，此时勾股数为9、12、15；
当时，成立，此时勾股数为15、36、39；
当时，成立，此时勾股数为21、72、75；
当时，成立，此时勾股数为27、120、123；
当时，成立，此时勾股数为22、180、183；
【点睛】
本题主要考查了勾股数的应用，准确分析计算是解题的关键．
28．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【详解】
解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为
令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
29．在 中，，点P与点Q是线段AB上的两点，连接CP，过点A作于点M，过点Q作于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若求证；
（3）如图3，若点Q是线段AB的中点，，请直接写出线段QN的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明，得是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质进行证明即可；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，证明得,，再证明得CM=BG，从而可得结论；
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，由勾股定理求出，得，证明，根据相似三角形的性质可求出，，再证明，求出，，再利用可求出NF的值，最后根据QN=QF-NF计算即可
【详解】
解：（1）在 中，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，如图，
∵PB=PQ，
∴
∴,
∵，
∴
在和中
∴
∴CM=BG
∵
∴
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，
∵,，，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵Q为AB的中点
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质与运用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
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