2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）

这是一份2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份），共47页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）（2022•南山区模拟）若一个正方形的面积是28，则它的边长为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022•南平模拟）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶10000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
3．（3分）（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
4．（3分）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
5．（3分）（2022•南山区模拟）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　）
A．6 B．5 C．9 D．12
6．（3分）（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．（3分）（2019•平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（　　）

A． B．18 C．16 D．
8．（3分）（2022•南山区模拟）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣1或﹣
9．（3分）（2022•南山区模拟）已知a，b，c，d均为实数，a2+b2＝c2+d2＝，则+abcd的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
10．（3分）（2022•石城县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）（2020•广州）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于　 　°．
12．（3分）（2022•南山区模拟）有五张正面分别标有数字﹣4，﹣2，0，2，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则ab为非负数的概率为 　 　．
13．（3分）（2022•南山区模拟）若非零实数a，b满足a2＝ab﹣，即可得﹣的值为 　 　．
14．（3分）（2020•浙江自主招生）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　 　．
15．（3分）（2022•南山区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠GFH的值为 　 　．

三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）（2022•南山区模拟）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2﹣x）x，其中．
17．（6分）（2022•南山区模拟）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
18．（7分）（2022•南山区模拟）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．
（1）求∠AMC与∠ACM度数．
（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．

19．（8分）（2022•江干区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．
（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．
（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．

20．（9分）（2022•南山区模拟）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
21．（9分）（2022•兰考县一模）在▱ABCD中，∠BAD＝α，以点D为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线DK，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，线段AP和线段AC的数量关系为 　 　；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请求出∠FAC的度数，以及AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当a＝120°时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．


22．（10分）（2022•南山区模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB＝，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．



2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）（2022•南山区模拟）若一个正方形的面积是28，则它的边长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵正方形的面积是28，
∴它的边长为＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．（3分）（2022•南平模拟）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶10000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
【考点】随机事件．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，故A符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B不符合题意；
C、汽车累积行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D．购买1张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
4．（3分）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
【考点】一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】销售问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“售价﹣成本＝利润”、“售价＝原价×85%”列出方程求解即可．
【解答】解：设该商品每件盈利x元，则由题意得80×（1+30%）×85%＝80+x，
88.4＝80+x，
x＝8.4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握“进价”“标价”“卖价”及‘利润’间关系是解决本题的关键．
5．（3分）（2022•南山区模拟）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　）
A．6 B．5 C．9 D．12
【考点】反比例函数的应用；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以先求得点B、C的坐标，再根据题意，可以得到点P和Q的坐标，从而可以计算出四边形PDEQ的面积．
【解答】解：∵线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点B的纵坐标是6，
∴6＝5x+1，
解得x＝1，
∴点B的坐标为（1，6），
∵曲线BC是双曲线y＝的一部分，点B的坐标为（1，6），
∴6＝，
解得k＝6，
∴双曲线y＝，
∵点C在该双曲线上，点C的横坐标是6，
∴y＝6÷6＝1，
即点C的坐标为（6，1），
∵点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，18÷6＝3，22÷6＝3……4，
∴m＝1，n＝＝，
∴PD＝1，QE＝，DE＝22﹣18＝4，
∴四边形PDEQ的面积是：＝5，
故选：B．

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是求出m、n的值．
6．（3分）（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】跨学科；应用意识．
【分析】普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，由速度公式表示出两地的距离；
两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，由速度公式表示出两地距离．联立两式解题即可．
【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，
已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v＝可得两地距离：
s＝v×120，
普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，
即：s普+s城＝s，
所以：v×80+nv×20＝s，
所以：v×80+nv×20＝v×120，
解得：n＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，速度公式的应用，关键正确表示出两地的距离．
7．（3分）（2019•平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（　　）

A． B．18 C．16 D．
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．
【解答】解：延长QN交AE于H．

由题意AO＝AD＝DE＝，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH＝＝，
∴AH＝，
∴OH＝＝，DH＝EH＝，
∵△NHD∽△HAO，
∴＝＝，
∴DN＝1，HN＝，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）（2022•南山区模拟）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣1或﹣
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
当﹣≤1时，即a≥﹣，x＝3时有最大值1，
∴9+（2a﹣1）×3﹣3＝1，
∴a＝﹣，
当﹣≥1时，即a≤﹣，x＝﹣1时有最大值1，
∴1+（2a﹣1）×（﹣1）﹣3＝1，
∴a＝﹣1，
∴a＝﹣1或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
9．（3分）（2022•南山区模拟）已知a，b，c，d均为实数，a2+b2＝c2+d2＝，则+abcd的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【考点】因式分解的应用；整式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先计算a2+b2与c2+d2的乘积，然后利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：a2+b2＝c2+d2＝，
（a2+b2）（c2+d2）＝×，
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝2，
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd﹣2abcd＝2，
a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2＝2，
（ac+bd）2+（ad﹣bc）2＝2，
+abcd
＝（a2c2+b2d2+2abcd）
＝（ac+bd）2，
∵（ad﹣bc）2≥0，
∴当ad＝bc时，（ad﹣bc）2取最小值为0，
∴（ac+bd）2≤2，
即（ac+bd）2≤1，
∴+abcd的最大值为1，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握配方法是解题的关键．
10．（3分）（2022•石城县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，

∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）（2020•广州）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于　80　°．
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据补角的概念求解可得．
【解答】解：∵∠A＝100°，
∴∠A的补角＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查补角，解题的关键是掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
12．（3分）（2022•南山区模拟）有五张正面分别标有数字﹣4，﹣2，0，2，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则ab为非负数的概率为 　　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中ab为非负数的结果有17种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中ab为非负数的结果有17种，
∴ab为非负数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）（2022•南山区模拟）若非零实数a，b满足a2＝ab﹣，即可得﹣的值为 　﹣2　．
【考点】代数式求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】将已知变形可得b＝2a，代入所求式子即可得答案．
【解答】解：∵a2＝ab﹣，
∴4a2﹣4ab+b2＝0，
∴（2a﹣b）2＝0，
∴2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∴﹣＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，将已知变形，得到b＝2a是解题的关键．
14．（3分）（2020•浙江自主招生）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　8或或　．
【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；应用意识．
【分析】分三种情形：①当BA＝BP时．②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4．③当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，分别求解即可．
【解答】解：①当BA＝BP时，
则AB＝BP＝BC＝8，即线段BC的长为8．
②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4，
∴BD＝DP，
在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，
∴OE＝3，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴△AOE∽△ABD，
∴＝，
∴BD＝，
∴BD＝PD＝，
即PB＝，
∵AB＝AP＝8，
∴∠ABD＝∠P，
∵∠PAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴＝，
∴CP＝，
∴BC＝CP﹣BP＝﹣＝；
③当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，
∴AF＝FB＝4，
在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，
∴OF＝3，
∴FP＝8，
∵∠PAF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，
∴△PFB∽△CGB，
∴＝＝2，
设BG＝t，则CG＝2t，
∵∠PAF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，
∴△APF∽△CAG，
∴＝，
∴＝，解得t＝，
在Rt△BCG中，BC＝t＝，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8或或，
故答案为：8或或．

【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
15．（3分）（2022•南山区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠GFH的值为 　　．

【考点】菱形的性质；解直角三角形；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
设AD＝CD＝BC＝m，则CE＝m＝t，
Rt△CDE中，CD＝2t＝AD，DE＝t，
Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t，
∵AD∥BE，
∴，
∴DF＝BD＝t，
Rt△DFH中，FH＝DF＝t，
Rt△ADE中，AE＝，
∴EF＝AE＝t，
∵FG：EG＝4：5，
∴FG＝EF＝t，
Rt△FHG中，cos∠GFH＝，
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和三角函数解答．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）（2022•南山区模拟）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2﹣x）x，其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+2x﹣x2
＝2x﹣1，
当x＝时，原式＝2×﹣1＝3﹣1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
17．（6分）（2022•南山区模拟）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝．
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率＝
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率＝＝
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．（7分）（2022•南山区模拟）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．
（1）求∠AMC与∠ACM度数．
（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据方向角可以证得∠AMC与∠ACM度数；
（2）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据含30度角的直角三角形即可求得AM的长，进而求得AN的长．
【解答】解：（1）如图，

∵∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACM＝30°+30°＝60°，
∴∠AMC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠AMC与∠ACM度数分别为90°、60°；
（2）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，
在Rt△AMC中，
∵∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，AC＝2000，
∴AM＝AC＝2000×＝1000（米），
在Rt△AMN中，
∵∠ANM＝90°，
∴AN＝AM＝1000×＝1500（米）．
答：AN的长为1500米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
19．（8分）（2022•江干区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．
（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．
（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．

【考点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OB，利用圆周角定理可得∠BOC＝2α，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）①利用（1）的结论与已知条件可得α+γ＝45°，则△OAC为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得∠BAO＝30°，过点D作DE⊥OB于点E，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段DE的长，利用△OBC的面积减去扇形OCB的面积即可求得结论；
②延长AO，交圆O于点G，连接BG，利用圆周角定理可得∠BOG＝2γ，利于等腰三角形的性质可得∠BOG＝∠OBC，进而得到BC∥AG；过点O作OF⊥BC于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求CF＝k，则BC＝2k，利用平行线的性质可得△DAO∽△DBC，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设OD＝x，则CD＝OC﹣OD＝1﹣x，代入比例式，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）α与β之间的数量关系为：α+β＝90°．理由：
连接OB，如图，

∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝α，
∴∠BOC＝2α．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝β．
∴∠BOC+∠OCB+∠OBC＝180°，
∴2α+2β＝180°．
∴α+β＝90°．
（2）①∵β＝γ+45°，α+β＝90°，
∴90°﹣α＝γ+45°．
∴α+γ＝45°．
∵∠BAC＝α，∠BAO＝γ，
∴∠OAC＝∠BAC+∠BAO＝45°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∴∠AOC＝90°．
∵AD＝2OD，
∴sin∠OAD＝．
∴∠OAD＝30°．
∴∠BAC＝15°．
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．
∵OA＝OD，
∴∠OBA＝∠BAO＝30°．
∴∠DOB＝∠DBO＝30°，
∴DO＝DB．
过点D作DE⊥OB于点E，如图，

则OE＝EB＝OB＝．
∵tan∠DOB＝，
∴．
∴DE＝．
∴×OB•DE＝．
∵，
∴S＝S扇形OCB﹣S△DBO＝．
②∵α+2γ＝90°，α+β＝90°，
∴β＝2γ．
延长AO，交圆O于点G，连接BG，如图，

∵∠BOG＝2∠BAO＝2γ，
∴∠BOG＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOG＝∠OBC．
∴BC∥AG．
过点O作OF⊥BC于点F，则CF＝BF＝BC，∠COF＝∠BOC＝α．
∵sinα＝k，sinα＝，
∴CF＝OC•sinα＝k，
∴BC＝2k．
设OD＝x，则CD＝OC﹣OD＝1﹣x，
∵BC∥OA，
∴△DAO∽△DBC．
∴．
∴．
解得：x＝．
∴OD＝．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．
20．（9分）（2022•南山区模拟）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：﹣＝+，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9＝（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60＝（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
解法二：设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：+≤﹣，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
21．（9分）（2022•兰考县一模）在▱ABCD中，∠BAD＝α，以点D为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线DK，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，线段AP和线段AC的数量关系为 　AP＝AC　；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请求出∠FAC的度数，以及AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当a＝120°时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．


【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）如图1，连接PB，PC，先证得△BPE是等边三角形，再证明△APE≌△CPB（SAS），得出AP＝CP，∠APE＝∠CPB，再证得△APC是等边三角形，即可得出结论；
（2）如图2，连接CF，证明△BCF≌△EAF（SAS），进而得出∠AFC＝90°，利用三角函数可得AC＝＝＝AF，再运用勾股定理即可；
（3）设BE＝a，则PE＝a，AD＝AE＝2a，AB＝CD＝3a，分两种情况：①当点E在AB上时，如图3，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，利用三角函数定义可得：DE＝2DH＝2a，再由△AEG∽△CDG，可得＝＝＝，进而求得DG＝DE＝a，再运用解直角三角形和勾股定理可得AP＝AC＝a，即可求得答案；②如图4，当点E在AB延长线上时，AD＝AE＝AB+BE＝3a+a＝4a，AB＝CD＝3a，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，与①同理即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC．
故答案为：AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠FAC＝45°，
∵sin∠ACF＝，
∴AC＝＝＝AF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BE＝AB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝3BE，
设BE＝a，则PE＝a，AD＝AE＝2a，AB＝CD＝3a，
①当点E在AB上时，如图3，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，
当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∴DH＝AD•cos∠ADE＝2a•cos30°＝a，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
DE＝2DH＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴＝＝＝，
∴DG＝DE＝a，
在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝3a•cos60°＝a，AT＝AB•sin∠ABC＝3a•sin60°＝a，
∴CT＝BC﹣BT＝2a﹣a＝a，
在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，
由（1）知：AP＝AC＝a，
∴＝＝．
②如图4，当点E在AB延长线上时，AD＝AE＝AB+BE＝3a+a＝4a，AB＝CD＝3a，
过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，
当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∴DH＝AD•cos∠ADE＝4a•cos30°＝2a，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
DE＝2DH＝4a，
由①同理可得：△AEG∽△CDG，
∴＝＝＝，
∴DG＝DE＝a，
在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝3a•cos60°＝a，AT＝AB•sin∠ABC＝3a•sin60°＝a，
∴CT＝BC﹣BT＝4a﹣﹣a＝a，
在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，
由（1）知：AP＝AC＝a，
∴＝＝，
综上所述，线段AP与线段DG的比值为或．




【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，角平分线定义，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
22．（10分）（2022•南山区模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB＝，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．


【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）根据A点的坐标确定OA的长度，根据函数值求出OB的长度，利用勾股定理求出AB的长度即可；
（2）①过点P作PM⊥x轴于点M，根据PM：MA：PA＝3：4：5，求出PM，MA进而求出AC即可得出C点的坐标；
②根据①求出C点坐标，设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），代入B点坐标求出解析式并整理即可；
（3）分三种情况分别求出当⊙P与三角形DEF三边相切时m的值即可．
【解答】解：（1）∵A（4，0），
∴OA＝4，
在Rt△OAB中，tan∠OAB＝＝，
∴OB＝3，
由勾股定理得AB＝5，
即OA长为4，AB长为5；
（2）①如下图所示，过点P作PM⊥x轴于点M，

在Rt△APM中，tan∠OAB＝，
∴PM：MA：PA＝3：4：5，
∵PA＝5m，
∴PM＝3m，MA＝4m，
∴CM＝MA＝4m，
∴AC＝8m，
即C（4﹣8m，0）；
②∵OC：PA＝8：15，
∴，
解得m＝，
∴C（1，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把B（0，3）代入解析式得3＝a（0﹣1）（0﹣4），
解得a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣x+3，
即抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3；
（3）∵A（4，0），C（4﹣8m，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣4+8m），
由图知，点C在x轴正半轴上，
①当⊙P与DE相切时，如下图所示，

∵PM经过点D，且DE⊥PM，
∴DE且⊙P于点D，
∴PD＝5m，
∴DM＝2m，
即D（4﹣4m，﹣2m），
把B（0，3），D（4﹣4m，﹣2m）代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴此时m的值为；
②当⊙P与DF相切时，如下图所示，
连接PC，

∴PC⊥DF，
∴∠PCM+∠DCM＝90°，
∵∠DCM+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠PCM，
又∵∠PMC＝∠CMD＝90°，
∴△PCM∽△CDM，
∴，
即DM＝＝m，
∴D（4﹣4m，m），
把B（0，3），D（4﹣4m，m）代入抛物线的解析式，
得：，
解得，
∴此时m的值为；
③当⊙P与EF相切时，如下图所示，

则xP＝5m，
∴4﹣4m＝5m，
∴m＝，
综上，符合条件的m的值为或或．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
4．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
5．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
8．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
15．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
16．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
17．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
21．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
22．四边形综合题
四边形综合题．
23．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
28．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
29．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
30．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
31．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
32．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．