23版新高考一轮分层练案(二十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用

一轮分层练案(二十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用

A级——基础达标

1．函数y＝2cos 的部分图象大致是(　　)

【答案】A　由y＝2cos 可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.

2．若把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)

A．2    B．

C．    D．

【答案】A　y＝sin 和函数y＝cos ωx的图象重合，可得－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，

k∈Z.∴ω的一个可能值是2.

3．将曲线y＝sin (2x＋φ)向右平移个单位长度后得到曲线y＝f(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)

A．    B．

C．－    D．－

【答案】D　曲线y＝sin (2x＋φ)向右平移个单位长度后得到曲线y＝f(x)＝sin ＝sin ，若函数f(x)的图象关于y轴对称，

则－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，

则φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|＜，

所以φ＝－.

4．将函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－    B．－

C．    D．

【答案】A　将函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin ＝sin 的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin .当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.

5．已知点P是函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是(　　)

A．3    B．4

C．5    D．6

【答案】D　由P是函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，

又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形．

由P，得|MN|＝×2＝6.

∴该函数的最小正周期T＝6.

6．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是(　　)

A．f(x)＝sin x＋cos x    B．f(x)＝(sin x＋cos x)

C．f(x)＝sin x    D．f(x)＝sin x＋

【答案】AD　f(x)＝sin x＋cos x＝sin 与f(x)＝sin x＋经过平移后能够重合；

f(x)＝(sin x＋cos x)＝2sin ，与f(x)＝sin x前面系数不同，平移后不能重合，故选A、D.

7.(多选) 已知函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1    B．A＝2

C．ω＝    D．ω＝

【答案】BC　由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，

即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝A sin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.故选B、C.

8．(多选)将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)

A．最大值为，图象关于直线x＝－对称

B．图象关于y轴对称

C．最小正周期为π

D．图象关于点成中心对称

【答案】BCD　将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，

得到y＝cos －1＝cos (2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；

再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x的图象．

对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－ 对称，故A错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；

它的最小正周期为＝π，故C正确；

当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．

9.已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

解析：由题图知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin (2x＋φ).由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin .令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z.

【答案】2　(k∈Z)

10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)依题意得A＝5，

周期T＝4＝π，∴ω＝＝2.

故f(x)＝5sin (2x＋φ)，

又图象过点P，∴5sin ＝0，

由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝5sin .

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

B级——综合应用

11．已知函数f(x)＝2sin ·cos ＋2cos2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)＝(　　)

A．2    B．1

C．－1    D．－2

【答案】B　函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1

＝sinωx＋cos ωx＝2sin .

由T＝＝π，可得ω＝2，∴f(x)＝2sin .

∵x∈，∴≤2x＋≤，∴－1≤f(x)≤2.

画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1＋x2＝，

则f(x1＋x2)＝f＝2sin ＝2sin ＝1.

12．已知函数f(x)＝4sin ，x∈，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝(　　)

A．    B．

C．398π    D．

【答案】A　函数f(x)＝4sin ，令2x－＝＋kπ得x＝kπ＋，k∈Z，即f(x)的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z.∵f(x)的最小正周期为T＝π，0≤x≤，当k＝0时，可得y轴右侧第一条对称轴x＝，当k＝28时，可得x＝，∴f(x)在上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin 与y＝3的交点有29个点，即x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1＋x2＝×2，x2＋x3＝×2，…，x28＋x29＝2×，将以上各式相加得：x1＋2x2＋2x3＋…＋2x28＋x29＝2×＝(2＋5＋8＋…＋83)×＝.

13.(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．函数g(x)为奇函数

B．函数g(x)的最小正周期为π

C．函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z)

D．函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)

【答案】BD　由题图可知A＝3，T＝·＝－＝，∴ω＝2，则f(x)＝3sin (2x＋φ).

将点的坐标代入f(x)＝3sin (2x＋φ)中，整理得sin ＝1，

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

即φ＝2kπ－，k∈Z.|φ|<，∴φ＝－，

∴f(x)＝3sin .

∵将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，

∴g(x)＝3sin ＝3sin ，x∈R.

∴g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

∴g(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；

令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.

则函数g(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z.故C错误；

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.故D正确．故选B、D.

14.如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)，赛道的后一部分为折线段MNP，则ω＝________，M，P两点间的距离为________．

解析：依题意，有A＝2，＝3，又T＝，

所以ω＝，

所以y＝2sin ，x∈[0，4]，

所以当x＝4时，y＝2sin ＝3，

所以M(4，3)，又P(8，0)，

所以MP＝＝＝5(km)，

即M，P两点间的距离为5 km.

【答案】　5 km

15．设函数f(x)＝sin ＋sin ，其中0<ω<3，且f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin ＋sin ，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx＝

＝sin .

因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin ，

所以g(x)＝sin ＝sin .

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

C级——迁移创新

16．在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由．

已知函数f(x)＝4sin ＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：由于函数f(x)的最小正周期不小于，

所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.

若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝对称，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.

此时，f(x)＝4sin ＋a.

由x∈，得4x＋∈，因此当4x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意．

故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3.

若选择②，即f(x)的图象关于点对称，

则有ω＋＝kπ(k∈Z)，

解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.

此时，f(x)＝4sin ＋a.

由x∈，得3x＋∈，因此当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4sin ＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意．

故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3.

若选择③，即f(x)在上单调递增，则有(k∈Z)，

解得(k∈Z)，

由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1.

此时，f(x)＝4sin ＋a.

由x∈，得x＋∈，因此当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意．

故存在正实数a＝3－2，使得函数f(x)在上有最大值3.