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23版新高考一轮分层练案(三十二) 平面向量的概念及线性运算
展开这是一份23版新高考一轮分层练案(三十二) 平面向量的概念及线性运算,共6页。试卷主要包含了已知O是正方形ABCD的中心,在△ABC中,下列命题正确的是等内容,欢迎下载使用。
一轮分层练案(三十二) 平面向量的概念及线性运算
A级——基础达标
1.设a,b是非零向量,则a=2b是=成立的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B 由a=2b可知,a,b方向相同,, 表示a,b方向上的单位向量,所以=成立;反之不成立.故选B.
2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a
【答案】B 对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,故D不正确.
3.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )
A.-2 B.-
C.- D.
【答案】A =+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-,∴=-2.
4.如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B 注意到N,P,B三点共线,
因此=m+=m+,
从而m+=1,所以m=.
5.(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点,则=( )
A.+ B.-
C.+ D.+
【答案】AC 如图所示,设BC的中点为E,则=+=+=+(+)=-+×=+.故选A、C.
6.(多选)设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+sin α·b,其中α∈(0,2π),=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角α的值可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】CD 因为a,b是不共线的两个平面向量,所以2a-b≠0,即≠0,因为P,Q,R三点共线,所以与共线,所以存在实数λ,使=λ,所以a+sin α·b=2λa-λb,所以解得sin α=-.又α∈(0,2π),故α可为或.
7.(多选)在△ABC中,下列命题正确的是( )
A.-=
B.++=0
C.若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形
D.若·>0,则△ABC为锐角三角形
【答案】BC 由向量的运算法则知-=,++=0,故A错误,B正确;
∵(+)·(-)=2-2=0,
∴2=2,即||=||,
∴△ABC为等腰三角形,故C正确;
∵·>0,
∴角A为锐角,但三角形不一定是锐角三角形,故D错误.
故选B、C.
8.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同,若a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,则t=________.
解析:∵a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b起点相同,
∴a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,
∴存在实数λ,使a-tb=λ,
∴解得
即当t=时,a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上.
【答案】
9.在等腰梯形ABCD中,=2,点E是线段BC的中点,若=λ+μ,则λ=________,μ=________.
解析:取AB的中点F,连接CF(图略),则由题可得CF∥AD,且CF=AD.
∵=+=+=+(-)=+=+,
∴λ=,μ=.
【答案】
10.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),若存在实数t使C,D,E三点在一条直线上,则t=________.
解析:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,又C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线,所以有解得t=.
【答案】
B级——综合应用
11.A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(1, ] D.(-1,0)
【答案】B 设=m,则m>1,
因为=λ+μ,所以m=λ+μ,
即=+,
又知A,B,D三点共线,所以+=1,即λ+μ=m,
所以λ+μ>1,故选B.
12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为△ABC的( )
A.BC边中线的中点
B.BC边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.BC边的中点
【答案】B 设BC的中点为M,
则+=,
∴=(+2)=+,
即3=+2,也就是=2,
∴P,M,A三点共线,
且P是AM上靠近A点的一个三等分点.
13.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M在边BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】ACD 若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;
若=2-,即有-=-,
即=,
则点M在边CB的延长线上,故B错误;
若=--,即++=0,
则点M是△ABC的重心,故C正确;
如图,=x+y,且x+y=,
可得2=2x+2y,
设=2,
则M为AN的中点,
则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.
故选A、C、D.
14.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是________.
解析:设=y,
∴=+=+y=+y(-)=-y+(1+y).
∵=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),
∴y∈,∵=x+(1-x),
∴x=-y,∴x∈.
【答案】
15.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点,满足PB⊥PD,则||的最大值是________,|+|的值是________.
解析:因为PB⊥PD,所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B,D),如图:
设BD的中点为O,由题意得BD=5,所以圆O的半径r=,
由圆的性质可得||max=2r=5.
由矩形的性质可得O也为AC中点,
所以|+|=|2|=2r=5.
【答案】5 5
C级——迁移创新
16.定义一种向量运算“⊗”:a⊗b=(a,b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a,b,c,e,给出下列结论:
①a⊗b=b⊗a;
②λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R);
③(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c;
④若e是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+1.
以上结论一定正确的是_________(填写所有正确结论的序号).
解析:当a,b共线时,a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a,当a,b不共线时,a⊗b=a·b=b·a=b⊗a,故①是正确的;当a,b共线且λ=0,b≠0时,λ(a⊗b)=0,(λa)⊗b=|0b|≠0,故②是错误的;
当a+b与c共线时,则存在a,b与c不共线,(a+b)⊗c=|a+b-c|,a⊗c+b⊗c=a·c+b·c,显然|a+b-c|≠a·c+b·c,故③是错误的;
当e与a不共线时,|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|=|a|<|a|+1,当e与a共线时,|a⊗e|=|a-e|≤|a|+1,故④是正确的.
【答案】①④
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