23版新高考一轮分层练案(十二)　函数的图象

一轮分层练案(十二)　函数的图象

A级——基础达标

1．函数y＝－ex的图象(　　)

A．与y＝ex的图象关于y轴对称

B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C．与y＝e－x的图象关于y轴对称

D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称

【答案】D　由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．

2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

【答案】C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C.

3．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C　由y＝lg ＝lg (x＋3)－1.故选C.

4.(必修第一册102页复习参考题13题改编)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y＝f(t)的大致图象为(　　)

【答案】B　因为△OAB是边长为2的正三角形，当0<t≤1时，f(t)＝×t×t＝t2；

当1<t≤2时，f(t)＝×2×－×(2－t)×(2－t)＝－(t－2)2＋，

所以f(t)＝

只有选项B中图象符合，故选B.

5．(多选)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)不能满足条件的是(　　)

A．f(x)＝    B．f(x)＝ex－1－e1－x

C．f(x)＝x＋    D．f(x)＝log2(x＋1)＋1

【答案】ACD　由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，②f(1＋x)＝－f(1－x).对于选项A、C、D，f(1)均不为0，不满足条件；对于选项B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x).故选A、C、D.

6．(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)

【答案】AD　当0<a<1时，f(x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递减，此时A选项符合题意；当a>1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意，故选A、D.

7．(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是(　　)

A．f2(x)与f4(x)    B．f1(x)与f3(x)

C．f1(x)与f4(x)    D．f3(x)与f4(x)

【答案】AC　f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B、D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位长度得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)＝log2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位长度得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项C是“同形”函数，故选A、C.

8．设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝－x对称，且f(－3)＋f＝4，则实数a＝________．

解析：设f(x)上任意一点为(x，y)，则(x，y)关于直线y＝－x 对称的点为(－y，－x)，把(－y，－x)代入y＝，得－x＝，

∴f(x)＝log3(－x)＋a，x＜0，

∵f(－3)＋f＝4，

∴1＋a－1＋a＝4，解得a＝2.

【答案】2

9．设函数f(x)＝则f(f(0))＝________；若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________．

解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1).若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞).

【答案】0　(－∞，0)∪(e，＋∞)

10．设a为实数，且1<x<3，试讨论关于x的方程x2－5x＋3＋a＝0的实数解的个数．

解：原方程即a＝－x2＋5x－3.

如图，作出函数y＝－x2＋5x－3＝－＋(1<x<3)的图象，得当a>或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；

当a＝或1<a≤3时，原方程的实数解的个数为1；

当3<a<时，原方程的实数解的个数为2.

综上，a>或a≤1时有0个解；a＝或1<a≤3时有1个解；3<a<时有2个解．

B级——综合应用

11．函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题，其中正确的命题是(　　)

A．函数y＝f(x)一定是偶函数

B．函数y＝f(x)可能是奇函数

C．函数y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增

D．若y＝f(x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)

【答案】B　由题意可得，函数y＝f(x)的图象是双曲线x2－y2＝1的一部分．

由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．

其中，图①④表示的函数为偶函数，图②③表示的函数是奇函数，所以命题B正确，命题A错误；

由图②④可知函数y＝f(x)可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题C错误；

由图④可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题D错误．

综上可知，故选B.

12．若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)

A．1个    B．2个

C．3个    D．4个

【答案】B　如图，作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B.

13．(多选)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有(　　)

A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增

B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4

D．函数f(x)有且仅有两个零点

【答案】ABD　函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，

由图可得，

函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；

函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；

若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；

函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．

14．已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．

解析：函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a<b<c，

由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 020，

所以2<a＋b＋c<2 021.

【答案】(2，2 021)

15．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．

解：(1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.

(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；

当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.

综上，f(x)min＝

C级——迁移创新

16．已知函数f(x)＝

g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．

解：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，

即f(x)max≤g(x)min.

如图，作出函数f(x)＝的图象，观察图象可知，

当x＝时，f(x)max＝.

因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，

所以g(x)min＝|k－2|，

所以|k－2|≥，

解得k≤或k≥.

故实数k的取值范围是∪.