这是一份23版新高考一轮分层练案(十一) 对数与对数函数，共6页。试卷主要包含了设0
一轮分层练案(十一) 对数与对数函数 A级——基础达标1．若0<a<1，则不等式>1的解是( )A．x>a B．a<x<1C．x>1 D．0<x<a【答案】B 易得0<logax<1，∴a<x<1.2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)【答案】D 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．3．已知地震释放出的能量E与地震的里氏震级M的关系为lg E＝4.8＋1.5M，2011年3月11日，日本东北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为E1，2008年5月12日，我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为E2，那么E1∶E2＝( )A．1.5 B．lg 1.5C．101.5 D．10－1.5【答案】C 由题意lg E1＝4.8＋1.5×9，lg E2＝4.8＋1.5×8，所以lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，所以lg ＝lg E1－lg E2＝1.5，所以E1∶E2＝101.5.故选C.4．函数y＝ln 的图象为( )【答案】A 易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D.当x>时，函数为减函数；当x<时，函数为增函数，故选A.5．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围为( )A．(0，1] B．(0，1)C．[0，1] D．(0，＋∞)【答案】A 作出函数y＝f(x)的图象(如图)，欲使y＝f(x)和直线y＝a有两个交点，则0<a≤1.6．(多选)设0<a<1，则( )A．log2a＝log B．log>log aC．log2a<log a D．log2<log a【答案】AB ∵0<a<1，∴0<a2<a<<1，∴在A中，log2a＝log ，故A正确；在B中，log >log a，故B正确；在C中，log2a>log a，故C错误；在D中，log2>log a，故D错误． 7．(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是( )A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．fg(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0【答案】ABC 由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A、B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故D正确．8．(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的是( )A．h(x)的图象关于原点对称B．h(x)的图象关于y轴对称C．h(x)的最大值为0D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增【答案】BC 函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，故A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log21＝0，故C正确．9．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.【答案】x10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．解：(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x).∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝(a>0，且a≠1).(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，∴loga<loga2<logaa.①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；②当0<a<1时，原不等式等价于解得0<a<.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).B级——综合应用11．已知函数f(x)＝ln ，若f＋f＋…＋f＝1 010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】B ∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴f＋f＋…＋f＝2 020，∴1 010(a＋b)＝2 020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．12．(多选)关于函数f(x)＝ln ，下列说法中正确的有( )A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)为奇函数C．f(x)在定义域上是增函数D．对任意x1，x2∈(－1，1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f【答案】BD 函数f(x)＝ln ＝ln ，其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，∴定义域为{x|－1＜x＜1}．∴A错误；由f(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)，是奇函数，∴B正确；函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性同增异减，∴f(x)在定义域内是减函数，∴C错误；f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln ＝ln ＝f，∴D正确．13．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·(logab＋logba)的值为________．解析：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.∴lg (ab)·(loga b＋logb a)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12，即lg (ab)·(loga b＋logb a)＝12.【答案】1214．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).【答案】 [－1，＋∞)15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a<.又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<，∴实数a的取值范围为(0，1)∪.(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．∵f(x)在区间[1，2]上单调递减，∴y＝logat在区间[1，2]上单调递增，∴a>1，当x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1. C级——迁移创新 16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，∵ax＋t2＝ax，∴ax－ax＋t2＝0，令u＝ax，u＞0，即有u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈∪.
