23版新高考一轮分层练案(四十八)　双曲线

一轮分层练案(四十八)　双曲线

A级——基础达标

1．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．1

C.  D．2

【答案】C　由题意可得＝1，∴ e＝ ＝＝.故选C.

2.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】D　设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4<|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距为2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝.故选D.

3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点M(－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

【答案】A　点M(－3,4)与双曲线的右焦点F2(c,0)关于渐近线y＝x对称，则得c＝5，＝2，所以b2＝25－a2＝4a2，所以a2＝5，b2＝20，则该双曲线的标准方程为－＝1.

4．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S＝16，则双曲线的实轴长是(　　)

A．32  B．16

C．84  D．4

【答案】B　由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

5．(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为－y2＝1

B．C的离心率为

C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点

D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点

【答案】AC　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，根据条件可知＝，所以方程可化为－＝1，将点(3，)代入得b2＝1，所以a2＝3，所以双曲线C的方程为－y2＝1，故A对；离心率e＝＝ ＝ ＝，故B错；双曲线C的焦点为(2,0)，(－2，0)，将x＝2代入得y＝e0－1＝0，故C对；联立整理得y2－2y＋2＝0，则Δ＝8－8＝0，故只有一个公共点，故D错．故选A、C.

6．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C．点P的横坐标为±1

D．△PF1F2的面积为

【答案】ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由解得|x0|＝1，

则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D.

7．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)

A．双曲线的离心率为

B．双曲线过点

C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0

D．双曲线的实轴长为4

【答案】ABC　由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选A、B、C.

8．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为________．

解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2(图略)，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1.

【答案】2＋1

9．已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是________．

解析：由条件知F(－2,0)．设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x0－x1，y0－y1)，则(x1＋2，y1)＝t(x0－x1，y0－y1)，所以x1＝，y1＝.因为点P(x0，y0)，Q(x1，y1)都在双曲线C上，所以消去y0，得x0＝.易知x0≥ ，所以≥ ，易知t>0，所以0<t≤，即实数t的取值范围是.

【答案】

10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，

所以a＝b，

所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，

所以双曲线方程为－＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，

所以x0＝y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，

所以x0＝c，所以点A的坐标为，

代入双曲线方程得－＝1，

即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又因为a2＋b2＝c2，

所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得

c4－2a2c2＋a4＝0，

所以34－82＋4＝0，

所以(3e2－2)(e2－2)＝0，

因为e>1，所以e＝，

所以双曲线的离心率为.

B级——综合应用

11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　)

A.  B.

C．2  D．2

【答案】C　因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.

12．我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”．已知F1，F2是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当∠F1MF2＝时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是(　　)

A．2  B.

C.  D.

【答案】D　设F1M＝m，F2M＝n(m>n>0)，F1F2＝2c，由余弦定理(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，即4c2＝m2＋n2－mn①，设a1是椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，由椭圆以及双曲线的定义，可得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，∴m＝a1＋a2，n＝a1－a2，代入①式，可得3a－4c2＋a＝0，又·＝1，即c2＝a1a2，可得3a－4a1a2＋a＝0，解得a1＝3a2，e1·e2＝·＝2＝1，解得e2＝.故选D.

13．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)

A．点P的横坐标为

B．△PF1F2的周长为

C．∠F1PF2小于

D．△PF1F2的内切圆半径为

解析：选ABCD　双曲线E：－＝1的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m＞0，n＞0，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4.由－＝1，可得m＝，故A正确；由P，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得kPF1＝，k＝，则tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，则∠F1PF2＜，故C正确；由|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝＋＝，则△PF1F2的周长为＋10＝，故B正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选A、B、C、D.

14．在平面直角坐标系 xOy中，已知△ ABC的顶点 A(－ 6, 0)和 C(6, 0)，若顶点 B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.

解析：由条件知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12.又在△ABC中，有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而＝＝.

【答案】

15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.

(1)求C的离心率；

(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.

解：(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，

在－＝1中，

当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，

则B点的纵坐标为y＝±，

因|AF|＝|BF|，

所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，

a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.

(2)由(1)知2a＝c，b2＝3a2，

所以双曲线方程可化为－＝1.

如图，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，

则kAB＝，kBF＝，

设∠BAF＝θ，则tan θ＝，

所以tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，

又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.

C级——迁移创新

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．

解：(1)由已知·＝1.

|(x＋y)(x－y)|＝2.

因为点P在区域W内，

所以x＋y与x－y同号，所以|(x＋y)(x－y)|＝x2－y2＝2，

即点P的轨迹C的方程为－＝1.

(2)设直线l与x轴相交于点D，

当直线l的斜率不存在时，|OD|＝，|AB|＝2，得S△OAB＝|AB|·|OD|＝2；

当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，

显然k≠0，则D，

把直线l的方程与轨迹C的方程联立得消去y，整理得(k2－1)x2＋2kmx＋m2＋2＝0，

由直线l与轨迹C有且只有一个公共点知

Δ＝4k2m2－4(k2－1)(m2＋2)＝0，

得m2＝2(k2－1)>0，即k>1或k<－1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1＝，同理，得y2＝.

所以S△OAB＝|OD||y1－y2|

＝＝＝2.

综上，△OAB的面积恒为定值2.