23版新高考一轮分层练案(四十六)　椭圆的定义、标准方程及简单几何性质

这是一份23版新高考一轮分层练案(四十六)　椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，共6页。试卷主要包含了则b＝eq \r，所以D正确，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(四十六)　椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 A级——基础达标1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝(　　)A．5　　　　　　　　　 B．6C．9  D．10【答案】C　由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.故选C.2.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为(　　)A.  B.C.  D.【答案】A　设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.∵截面与底面成45°角，∴椭圆的长轴长为R，∴椭圆的焦距为2＝R，则e＝＝＝.3．已知点 F1, F2分别为椭圆 C：＋＝ 1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠ F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)A．4  B．6C．8  D．12【答案】A　由|PF1|＋|PF2|＝4　①，|PF1|2＋|PF2|2－ 2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2　②，由①2－②得 3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆C的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆C的方程是(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1【答案】C　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为＋＝1，因为点O到直线BF的距离为.所以＝，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C.5．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m km，远地点B(离地面最远的点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　)A．a－c＝m＋R  B．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋n  D．b＝【答案】ABD　由题意可知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，可得a－c＝m＋R，所以A正确；a＋c＝R＋n，所以B正确；可得a＝＋R，c＝，可知2a＝m＋n＋2R，所以C错；由b2＝a2－c2＝2－2＝(m＋R)(n＋R)．则b＝，所以D正确．故选A、B、D.6．(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为(　　)A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域面积必小于36D．曲线C总长度不大于6π【答案】BC　易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆＋＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆＋＝1的两个焦点．若点P仅在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选B、C.7．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)A．椭圆C的方程为＋x2＝1B．椭圆C的方程为＋y2＝1C．|PQ|＝D．△PF2Q的周长为4【答案】ACD　由已知得，2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋＝1，如图．∴|PQ|＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.故选A、C、D.8．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝ 1的离心率为______．解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝， c＝，则e＝.【答案】或 9．已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为______，△PF1F2的周长为________．解析：由椭圆方程知a＝5，b＝3，c＝4，所以其离心率e＝＝.△PF1F2的周长为2a＋2c＝10＋8＝18.【答案】　1810．如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为＋＝1. B级——综合应用 11．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1【答案】A　由题意可得解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为＋＝1.12．已知椭圆C：＋＝1，圆A：x2＋y2－3x－y＋2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F(－2,0)，则|PQ|＋|PF|的最小值为(　　)A．4－  B．8－3C．4－  D．8－【答案】D　圆A的标准方程为2＋2＝，圆心A，半径r＝，如图所示，可知点F为椭圆C的左焦点，设点E为椭圆C的右焦点，易知点E在圆A上，由椭圆的定义可得|PF|＝2a－|PE|＝8－|PE|，由圆的几何性质可得|PQ|≥|PA|－r＝|PA|－，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋8－|PE|≥|PA|－|PE|＋8－≥－|AE|＋8－＝8－，当且仅当P，A，E三点共线且点P在点A的上方时，|PQ|＋|PF|取得最小值8－.故选D.13．(多选)我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(　　)A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x 轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2【答案】BD　∵C：＋＝1(a>b>0)，∴A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．对于A：|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列，则|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2，∴(a－c)2＝(2c)2，∴a－c＝2c，∴e＝不满足条件，故A错误；对于B：∠F1B1A2＝90°，∴|A2F1|2＝|B1F1|2＋|B1A2|2，∴(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，∴c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)满足条件，故B正确；对于C：PF1⊥x 轴，且PO∥A2B1，∴P，∵kOP＝kA2B1，即＝，解得b＝c，∵a2＝b2＋c2，∴e＝＝＝不满足题意，故C错误；对于D：四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2.即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，∴ab＝c，∴c4－3a2c2＋a4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，解得e2＝(舍去)或e2＝，∴e＝，故D正确．故选B、D.14．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝__________ .解析：由已知得a＝5，如图，E是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知|FP1|＝|EP7|，|FP2|＝|EP6|，|FP3|＝|EP5|，又|FP4|＝5，∴|FP1|＋|FP2|＋|FP3|＋|FP4|＋|FP5|＋|FP6|＋|FP7|＝|EP7|＋|EP6|＋|EP5|＋5＋|FP5|＋|FP6|＋|FP7|＝2a＋2a＋2a＋5＝35.【答案】3515．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(0，－b)和B(a,0)的直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．解：(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0.原点到直线AB的距离为＝，即3a2＋3b2＝4a2b2，①由e＝＝，得c2＝a2，②又a2＝b2＋c2，③所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2.故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由(1)得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，联立直线与椭圆的方程得消去x整理得，(k2＋3)y2＋2 ky－1＝0.故④而S＝S＋S＝|F1F2||y1－y2|＝ ，⑤将④代入⑤，得S＝＝.又S＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2 r，所以＝2r，故r＝＝≤，当且仅当＝，即k＝±1时取等号．故△PQF1内切圆半径r的最大值为.C级——迁移创新16．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e＝，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由消去y，得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)·x1x2＋9＝0.即＋9＝0，将其整理为k2＝＝－1－.因为＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.所以k2≥，即k∈∪.