23版新高考一轮分层练案(四十二)　直线的方程

一轮分层练案(四十二)　直线的方程

A级——基础达标

1．直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是(　　)

A．45°  B．135°

C．30°  D．150°

【答案】B　由题意得直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B.

2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

【答案】B　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．

3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B.

C.∪  D.∪

【答案】B　由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.

4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝x－2

C．y＝x＋  D．y＝－x＋2

【答案】A　直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝x＋2.

5．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示

B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线

C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ·(x－1)

D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0

【答案】BD　对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0.所以D正确．故选B、D.

6．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0  B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0  D．x－y－1＝0

【答案】ABC　当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0；综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选A、B、C.

7．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)

A．直线的倾斜角是π－α

B．无论α如何变化，直线不过原点

C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切

D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

【答案】BCD　根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．故选B、C、D.

8．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．

解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.

【答案】4x－3y－4＝0

9．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为________．

解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1,1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.

【答案】8　

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－2,3)且斜率为正；

(2)斜率为.

解：(1)依题意，设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)(k>0)，

令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2.

由题意，可得|2k＋3|·＝12，解得k＝，

故所求直线的方程为y＝x＋6.

(2)依题意，设直线l的方程为y＝x＋b，

令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－2b.

由已知可得|b|·|－2b|＝12，解得b＝±2.

故所求直线的方程为y＝x＋2或y＝x－2.

B级——综合应用

11．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】D　由f＝f知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D.

12．(多选)(陕西质量检测)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)

A．l的倾斜角等于150°

B．l在x轴上的截距等于

C．l与直线x－3y＋2＝0垂直

D．l上不存在与原点距离等于的点

【答案】CD　由已知得直线l的斜率k＝＝－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距等于1－，故B选项错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为，×(－)＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－>，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确．故选C、D.

13．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系用直线AB的方程表示为________．则旅客最多可免费携带行李____________kg.

解析：由题图知点A(60,6)，B(80,10)，代入直线方程的两点式＝，可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0.依题意，令y＝0，解得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李．

【答案】x－5y－30＝0　30

14．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________．

解析：直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，l的斜率分别为kPQ＝，kAQ＝，kl＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ<kl<kAQ，解得－<a<－.

【答案】

15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.

(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋2)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

C级——迁移创新

16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．

(1)直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；

(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5) ＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．

解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，

因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，

则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，

解得－1<k<.

(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·<0，

故点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，

设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，

故∠AOB＝，

因此，所求面积为S＝××22＋×2×1＝＋.