23版新高考一轮分层练案(四十三)　两直线的位置关系

一轮分层练案(四十三)　两直线的位置关系

A级——基础达标

1．已知直线l1: ax＋(a＋2)y＋1＝0, l2：x＋ay＋2＝0, 其中a∈R, 则“a＝－3”是“l1 ⊥ l2”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A　直线l1⊥l2的充要条件是a＋(a＋2)a＝0，

∴a(a＋3)＝0，∴a＝0或a＝－3 .故选A.

2．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)

A．0  B．1

C．6  D．0或6

【答案】C　由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，

因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.

又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，

所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6.

3．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

【答案】C　当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.

4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)

A．(0,4)  B．(0,2)

C．(－2,4)  D．(4，－2)

【答案】B　由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.

5．(多选)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是(　　)

A．2  B．－4

C．5  D．－6

【答案】AD　依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.

6．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0若l1，l2，l3三直线构不成三角形，则m的值可能为(　　)

A.  B．－

C．－  D.

【答案】ABC　当m＝时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形．当m＝－时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形．当m＝－时，l1，l2，l3交于同一点，故三条直线也构不成三角形．当m＝时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形，不合题意．

7.(多选)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个命题中正确命题为(　　)

A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个

B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个

C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个

D．若p＝q，则点M在一条过点O的直线上

【答案】ABC　若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故A正确；若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(0，q)或(p,0)的点有且仅有2个，故B正确；若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图，故C正确；若p＝q，则点M的轨迹是两条过0的直线，分别为交角的平分线所在直线，故D不正确．故选A、B、C.

8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.

解析：若直线l1的倾斜角为，则－a＝tan＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1.

【答案】－1　1

9．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．

解析：因为kAB＝＝－，kDC＝＝－，

kAD＝＝，kBC＝＝.

则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．

又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．

故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25.

【答案】25

10．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，求＋的最小值．

解：∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.

又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，

∴ ＝3，解得m＝0.

∴a＋c＝3.

则＋＝(a＋c)＝≥＝，

当且仅当c＝2a＝2时取等号．

故＋的最小值为.

B级——综合应用

11．若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)

A.  B.

C．2  D．2

【答案】A　由解得把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当且仅当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A.

12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．4x＋2y＋3＝0  B．2x－4y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0  D．2x－y＋3＝0

【答案】B　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1,0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB＝－2，AB中垂线的斜率为k＝，故AB的中垂线方程为y－1＝，故△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋3＝0.

13．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　)

A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行

B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直

C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交

【答案】BCD　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．

14．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.

解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是　解得

故m＋n＝.

【答案】

15．已知点P(2，－1)．

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；

(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；

(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，解得k＝.

此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.

综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．

由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，

因为kOP＝－，

所以kl＝－＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.

(3)由(2)可知，过点P不存在与原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且与原点的距离为6的直线．

C级——迁移创新

16．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：(1)因为＝≠(a>0)，所以两直线平行，直线l2可化为：2x－y－＝0，所以两条平行直线l1与l2间的距离为d＝＝，

所以＝，即＝，又a＞0，解得a＝3.

(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，

则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝×，即c＝或，

所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，

有＝×，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；

由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．

联立方程组解得(舍去)；

联立方程组解得

所以存在点P同时满足三个条件．