23版新高考一轮分层练案(四十四)　圆的方程

一轮分层练案(四十四)　圆的方程

A级——基础达标

1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)

A．－  B．－

C.  D．2

【答案】A　由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝－.故选A.

2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1  B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

【答案】A　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即

代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，

化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为(　　)

A．8  B．4

C．2  D．5

【答案】C　设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以≤2，

解得－2≤t≤2，所以2x＋y的最大值为2，故选C.

4．过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－2)2＝8  B．(x－1)2＋(y－2)2＝8

C．(x＋2)2＋(y－2)2＝8  D．(x－1)2＋(y＋2)2＝8

【答案】A　法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1.又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则将O，A，B的坐标分别代入得解得所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1.又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.

5．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为(　　)

A．x2＋2＝  B．x2＋2＝

C．(x－)2＋y2＝  D．(x＋)2＋y2＝

【答案】AB　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.

6．(多选)已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，若△PAB面积的最大值为a，最小值为b，则(　　)

A．a＝2  B．a＝2＋

C．b＝2－  D．b＝－1

【答案】BC　由题意知|AB|＝＝，lAB：2x－y＋2＝0，由题意知圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线lAB的距离d＝＝＝.所以S△PAB的最大值为××＝×(4＋)＝2＋，S△PAB的最小值为××＝×(4－)＝2－.

7．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是(　　)

A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上

B．满足条件的圆C有且只有一个

C．点(2，－1)在满足条件的圆C上

D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4

【答案】ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知都满足，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确．

8．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．

解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．

【答案】(－∞，－2)

9．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________．

解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|, 半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为， 得2－≤|a|≤2＋， ∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．

【答案】[－3，－1]∪[1,3]

10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

所以|PM|＝，S△POM＝××＝，

故△POM的面积为.

B级——综合应用

11．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，则点P的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M(2,0)，点P为圆O：x2＋y2＝16上的点，若存在x轴上的定点N(t，0)(t>4)和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|＝λ|PN|，则λ＝(　　)

A．1  B.

C.  D.

解析：选B　如图所示，由于圆上的任意一点P均有|PM|＝λ|PN|，所以A，B两点也满足该关系式．A(－4，0)，B(4,0)，M(2,0)，N(t,0)，λ＝＝＝＝，解得t＝8，λ＝，故选B.

12．已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且|AB|＝2，M为弦AB的中点，C(2，a)，D(2，a＋2)．当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－2)  B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C．(－2，＋∞)  D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

【答案】B　连接OM(图略)，由题意得|OM|＝＝2，∴点M在以O为圆心，半径为2的圆上．设CD的中点为N，则N(2，a＋1)，且|CD|＝2.∵当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，∴以O为圆心，半径为2的圆与以N(2，a＋1)为圆心，半径为1的圆外离，∴ >3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0.∴实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．

13．(多选)设有一组圆C：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四个命题正确的是(　　)

A．存在k，使圆与x轴相切

B．存在一条直线与所有的圆均相交

C．存在一条直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

【答案】ABD　对于A，存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝1，正确；对于B，因为圆心(1，k)恒在直线 x＝1上，正确；对于C，当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与所有的圆都相交，不正确；对于D，将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，正确．故选A、B、D.

14．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．

解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，

圆心C(2,1)，半径R＝2，

圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3，

设P到直线AB的距离为h，

则S△ABP＝·|AB|·h＝h，

∵d－R≤h≤d＋R，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，

即△ABP的面积的取值范围为[1,5]．

【答案】[1,5]

15．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．

(1)求x＋y的最大值和最小值；

(2)求 的最大值和最小值．

解：(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，

∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，

即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.

∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.

(2)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，

∴ 的最大值为＋1，最小值为－1.

C级——迁移创新

16．在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知＝且a＝6，b＝8.

(1)建立适当的直角坐标系，求△ABC的内切圆方程；

(2)P为内切圆上任意一点，求||2＋||2＋||2的最大值与最小值．

解：(1)由正弦定理可知sin 2A＝sin 2B，

所以A＝B或A＋B＝，

因为a<b，∴A＋B＝，所以c＝＝10，

以直角顶点C为原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴建系，

如图．

由于△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆圆心为O′，切点分别为D，E，F，

则AD＋DB＋EC＝×(10＋8＋6)＝12，上式中AD＋DB＝c＝10，

所以内切圆半径r＝EC＝2，

则内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.

(2)设圆上动点P的坐标为(x，y)，

令S＝||2＋||2＋||2，则S＝

(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2

＝3x2＋3y2－16x－12y＋100

＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76

＝3×4－4x＋76

＝88－4x，

因为点P在内切圆上，所以0≤x≤4，

所以Smax＝88－0＝88，Smin＝88－16＝72.