23版新高考一轮分层练案(九)　幂函数与二次函数

一轮分层练案(九)　幂函数与二次函数

A级——基础达标

1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝(　　)

A．3    B．－3

C．    D．－

【答案】C　设f(x)＝xα，则＝2α＝3，

∴f＝＝.

2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0    B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0    D．a<0，2a＋b＝0

【答案】A　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.

3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)

A．－1<m<0<n<1

B．－1<n<0<m

C．－1<m<0<n

D．－1<n<0<m<1

【答案】D　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D.

4．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1，3).若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]    B．[4，＋∞)

C．[2，＋∞)    D．(－∞，4]

【答案】B　因为f(x)＞0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以即令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4，故选B.

5．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)

A．f(－1)    B．f(1)

C．f(2)    D．f(5)

【答案】ACD　因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).

6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)

A．在x轴上截得的线段的长度是2

B．与y轴交于点(0，3)

C．顶点是(－2，－2)

D．过点(3，0)

【答案】ABD　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D.

7．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增

B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数

C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称

D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点

【答案】AB　对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于x＝1对称，错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，错误．

8．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________．

解析：y＝8＋m－7－8，

∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8＝0，

∴m＝9或m＝25.

【答案】9或25

9．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．

解析：当c＝0时，即x∈[－2，0]时，f(x)∈，当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为.作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当f(x)＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1.

【答案】　

10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

对称轴为x＝－∈[－2，3]，

∴f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

∴函数f(x)的值域为.

(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；

②当－＞1，即a＜－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，a＝－或a＝－1.

B级——综合应用

11．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0).若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)

A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0

B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0

C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0

D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0

【答案】B　当a<0时，作出两个函数的图象，如图，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)，因为函数f(x)＝是奇函数，所以设A关于原点对称的点为A′(－x1，－y1)，显然x2>－x1>0，即x1＋x2>0，－y1>y2，即y1＋y2<0；当a>0时，由对称性知x1＋x2<0，y1＋y2>0.故选B.

12．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)

A．0    B．1

C．    D．2

【答案】A　因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，所以a－＝log－＝0.

13．(多选)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下说法，其中正确的是(　　)

A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0

B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0

C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n

D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n

【答案】AD　任取x1≠x2，则m＝＝＝2＞0，A正确；

由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，

则n＝＝＝＝0，B错误；

m＝2，n＝＝

＝

＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；

m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，

只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．

14．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：

则不等式f(|x|)≤2的解集是________．

解析：设幂函数为f(x)＝xα，则＝，∴α＝，∴f(x)＝x.

不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4，

∴－4≤x≤4.

∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4，4].

【答案】[－4，4]

15．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.

(1)求f(x)的表达式；

(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1，2]上的最大值为f(2)，最小值f(－1)，求实数k的取值范围．

解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，

由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，

根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，

所以|x1－x2|＝ ＝ ＝2，

解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.

(2)由题意得函数g(x)在区间[－1，2]上单调递增，

又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.

所以g(x)的对称轴方程为x＝，

则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0].

C级——迁移创新

16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．

解：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.

所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2).