23版新高考一轮分层练案(五十二)　随机抽样、常用统计图表

一轮分层练案(五十二)　随机抽样、常用统计图表

A级——基础达标

1．为了了解全校240名高一学生的身高，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是(　　)

A．240名高一学生的身高

B．抽取的40名高一学生的身高

C．40名高一学生

D．每名高一学生的身高

【答案】B　总体是240名高一学生的身高，则个体是每个学生的身高，故样本是抽取的40名高一学生的身高．

2．某学院A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则应在该学院的C专业抽取的学生人数为(　　)

A．30   B．40

C．50  D．60

【答案】B　C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样知应抽取120×＝40(名)．

3．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和图②所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)

A．100,8   B．80,20

C．100,20  D．80,8

【答案】A　由图①可知，抽取20%的户主，可得样本量为100，第四居室抽取了100×20%＝20(人)，由满意率可得，抽取的户主对四居室满意的人数为20×40%＝8.

4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是(　　)

A．甲所得分数的极差为22

B．乙所得分数的中位数为18

C．两人所得分数的众数相等

D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

【答案】D　甲所得分数的极差为33－11＝22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C正确；易知甲所得分数的平均数大于乙所得分数的平均数，故选D.

5．(多选)某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1 000的1 000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个)中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是(　　)

A．估计被调查者中约有520人吸烟

B．估计约有20人对问题2的回答为“是”

C．估计该地区约有4%的中学生吸烟

D．估计该地区约有2%的中学生吸烟

【答案】BC　随机抽出的1 000名学生中，回答第一个问题的概率是， 其编号是奇数的概率也是， 所以回答问题1且回答是的人数为1 000××＝250; 所以回答第二个问题，且回答是的人数为270－250＝20; 由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为＝4%；估计被调查者中约有1 000×4%＝40(人)吸烟；故表述正确的是B、C.故选B、C.

6．(多选)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：

则下列结论中错误的是(　　)

A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半

B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当

C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍

D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍

【答案】ABD　设该家庭2014年全年收入为a，则2018年全年收入为2a.对于A,2018年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年食品消费额为0.4a，故两者相等，A错误；对于B,2018年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年教育医疗消费额为0.2a，故B错误；对于C,2018年休闲旅游消费额为0.25×2a＝0.5a,2014年休闲旅游消费额为0.1a，故C正确；对于D,2018年生活用品的消费额为0.3×2a＝0.6a,2014年生活用品的消费额为0.15a，故D错误．

7．(多选)如图①为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图②为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是(　　)

A．2019年1～4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件

B．2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关

C．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致

D．从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长

【答案】ABC　对于A,2019年1～4月份快递业务量3月份最高，有4 397万件，2月份最低，有2 411万件，其差值接近2 000万件，所以A正确；对于B,2019年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B正确；对于C，由两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C正确；对于D，由图知业务收入2月对1月减少，4月对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D不正确．故选A、B、C.

8．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．

解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为p，则中间一个小矩形面积为p，p＋p＝1，p＝，则中间一个小矩形的面积等于p＝，200×＝50，即该组的频数为50.

【答案】50

9．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．

解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时)．

【答案】50　1 015

10．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：

(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；

(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；

(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)．

解：(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24，

故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80.

(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800⇒x≥50.

设“该实体店一天获利不低于800元”为事件A，则

P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.

故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.

(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，

销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，

所以网店销售量的中位数的估计值为50＋×5≈52.35.

B级——综合应用

11．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取(　　)

A．18人   B．16人

C．14人  D．12人

【答案】B　∵田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，∴男运动员有56人，∵每名运动员被抽到的概率都是，∴男运动员应抽取56×＝16(人)，故选B.

12．(多选)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　)

A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

【答案】AC　对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值3，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，＜4，故C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选A、C.

13．中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层随机抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为________．

解析：由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的学生有8人，设抽取的学生中获得“诗词达人”称号的人数为n，则＝，解得n＝2.

【答案】2

14．某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为______．

解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，

所以＝b，所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层随机抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3 600＝1 200.

【答案】1 200

15．共享单车入驻某市一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度三个方面的信息，在全市范围内发放 5 000 份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：

表(一)

表(二)

表(三)

(1)依据上述表格完成下列三个统计图：

(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．

解：(1)

(2)由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，某城区30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×＝15(万人)；又年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的，用样本估计总体的思想可知，城区年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×＝(万人)，所以年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次之间的人数约为万人．

C级——迁移创新

16．市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：

某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元，25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．

(1)根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；

(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支，若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的数量；

(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．

解：(1)由题图可知，各组中值依次为3 100,3 300，3 500，3 700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 440(小时)．

(2)由题图可知，使用寿命不超过3 600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换5×0.8＝4(支)．

(3)若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；

若选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．

因为967.5>870，所以该商家应选择A型节能灯．

17．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(t)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 t的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(t)，估计x的值，并说明理由．

解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.

由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，

解得a＝0.30.

(2)由(1)可知，100位居民中每人月均用水量不低于3 t的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.

根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3 t的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，

前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，

所以2.5≤x＜3.

由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，

解得x＝2.9.

所以估计月用水量标准为2.9 t时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

18．甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元．

(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；

(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如图所示的条形图．若记甲公司的推销员的日工资为X，乙公司的推销员的日工资为Y，将频率视为概率．若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．

解：(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y(单位：元)与日销售件数n的函数关系式为y＝80＋n，n∈N.

乙公司一名推销员的日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝

(2)由条形图可得X的分布列如下：

由条形图可得Y的分布列如下：

易得E(X)＝122×0.2＋124×0.4＋126×0.2＋128×0.1＋130×0.1＝125，

E(Y)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.

因为E(X)<E(Y)，

所以仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司更好．