23版新高考一轮分层练案(五十八)　二项式定理

一轮分层练案(五十八)　二项式定理

A级——基础达标

1．在6的展开式中，常数项为(　　)

A．－240　　　　　　　　 B．－60

C．60  D．240

【答案】D　6的二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)k＝C(－2)kx12－3k，

令12－3k＝0得k＝4，即常数项为T5＝C(－2)4＝240.

2．5的展开式中x3项的系数为(　　)

A．80  B．－80

C．－40  D．48

【答案】B　5的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.

3．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)

A．－80  B．－40

C．40  D．80

【答案】D　(2x－y)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.

4.3展开式的常数项为(　　)

A．120  B．160

C．200  D．240

【答案】B　因为3＝6，其展开式的通项为Tr＋1＝C6－r·(2x)r＝C2rx2r－6，令2r－6＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为C·23＝160.

5．(多选)对于(a＋b)n(n∈N*)展开式的二项式系数下列结论正确的是(　　)

A．C＝C

B．C＋C＝C

C．当n为偶数时，C＋C＋C＋…＋C＝2n

D．当n为奇数时，C－C＋C－C＋C－…－C＝0

【答案】ABCD　选项A：由组合数的运算直接可得C＝C，故选项A正确；选项B：由杨辉三角直接可得C＋C＝C，故选项B正确；选项C：二项式展开式中，令a＝b＝1，不论n为奇数还是偶数，都可得C＋C＋C＋…＋C＝2n，故选项C正确；选项D：由选项C可知a＝1，b＝－1，当n为奇数时，C－C＋C－C＋C－…－C＝0，故选项D正确．故选A、B、C、D.

6．(多选)二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是(　　)

A．第2项  B．第3项

C．第4项  D．第5项

【答案】CD　因为二项式(2x－1)7展开式的各项的二项式系数为C(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，易知当k＝3或k＝4时，C最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项．

7．(多选)已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，设(3x－1)n的展开式的二项式系数之和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，则(　　)

A．a0＝1

B．Tn＝2n－(－1)n

C．n为奇数时，Sn＜Tn；n为偶数时，Sn＞Tn

D．Sn＝Tn

【答案】BC　由题意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－(－1)n，故选B、C.

8．(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________．

解析：依题意得，(x－2)3(2x＋1)2＝(x3－6x2＋12x－8)·(4x2＋4x＋1)＝4x5－20x4＋25x3＋10x2－20x－8，所以展开式中x的奇次项的系数之和为4＋25－20＝9.

【答案】9

9．若m的展开式中二项式系数之和为128，则m＝________，展开式中的系数是________．

解析：由题意可知2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·r＝C37－r(－1)rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系数为C37－6(－1)6＝21.

【答案】7　21

10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为24，求展开式中x2的系数的最小值．

解：由f(x)的展开式中x的系数为24，可得

C2x＋C2x＝2mx＋2nx＝24x，解得m＋n＝12.

设f(x)的展开式中x2的系数为t，则

t＝C22＋C22＝2(m2＋n2－m－n)

＝2(m2＋n2－12)≥2＝2×(72－12)＝120.

当且仅当m＝n＝6时，t有最小值120.

∴f(x)的展开式中x2的系数的最小值为120.

B级——综合应用

11．已知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数与4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ＝(　　)

A.   B.或

C.   D.或

【答案】B　由二项式定理知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数为Ccos2θ，4的展开式中x3的系数为C×，所以Ccos2θ＝C×，解得cos2θ＝，解得cos θ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故选B.

12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)

A．39  B．310

C．311  D．312

【答案】D　对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312.

13．(多选)对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　)

A．存在n∈N*，展开式中有常数项

B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项

【答案】AD　该二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k(x3)k＝Cx4k－n，

∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；

当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选A、D.

14．若n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.

解析：n的展开式的通项Tr＋1＝Cxn－rr＝C2－rxn－2r，则前三项的系数分别为1，，，

由其依次成等差数列，得n＝1＋，解得n＝8或n＝1(舍去)，故n＝8.

【答案】8

15．已知(a2＋1)n展开式中的二项式系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a的值．

解：5展开式的通项为Tr＋1＝C5－rr＝C5－rx.

令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16，

又(a2＋1)n展开式中的二项式系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.

∴(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)2＝54，∴a＝.

C级——迁移创新

16．求证：对一切n∈N*，都有2≤n<3.

证明：∵n＝C＋C·＋C2＋…＋Cn＝1＋1＋·＋··＋…＋···…·，

∴2≤n<2＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＋＋…＋＝3－<3.

当且仅当n＝1时，n＝2；

当n≥2时，2<n<3.

故2≤n<3，n∈N*.