23版新高考一轮分层练案(二十三)　简单的三角恒等变换

一轮分层练案(二十三)　简单的三角恒等变换

A级——基础达标

1．若sin (α＋β)＝3sin (π－α＋β)，α，β∈，则＝(　　)

A.2    B．

C.3    D．

【答案】A　∵sin (α＋β)＝3sin (π－α＋β)，∴sin αcos β＝2cos αsin β，∴tan α＝2tan β，即＝2，故选A.

2．＝(　　)

A.2    B．

C.    D．1

【答案】D　原式＝＝＝1.故选D.

3．若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.    B．

C.或    D．或

【答案】A　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝，∴2α∈，∴α∈且cos 2α＝－.

又∵sin (β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos (β－α)＝－，

∴cos (α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]

＝cos (β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α

＝×－×＝，

又∵α＋β∈，∴α＋β＝.

4．若sin (α－β)sin β－cos (α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan ＝(　　)

A.7    B．

C.－7    D．－

【答案】B　∵sin (α－β)sin β－cos (α－β)cos β＝，

即－cos (α－β＋β)＝－cos α＝，

∴cos α＝－.又∵α为第二象限角，

∴tan α＝－，∴tan ＝＝.

5．直线y＝2x绕原点顺时针旋转45° 得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为(　　)

A.    B．

C.－    D．

【答案】D　设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，所以tan α＝tan (β－45°)＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.故选D.

6．(多选)(必修第一册225页例8、226页练习4题改编)给出下列四个关系式，其中不正确的是(　　)

A.sinαsin β＝[cos (α＋β)－cos (α－β)]

B.sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]

C.cos αcos β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]

D.cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]

【答案】AC　由sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相加可得sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]，故B正确；两式相减可得cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]，故D正确；由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，两式相减可得sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]，两式相加可得，cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，故A、C错．故选A、C.

7．(多选)当tan 有意义时，下列等式成立的是(　　)

A.tan ＝    B．tan ＝

C.sin α＝    D．cosα＝

【答案】ABCD　tan＝＝＝，A成立；

tan ＝＝＝，B成立；

sin α＝＝，C成立；

cosα＝＝，D成立．

8．(多选)已知sinα＝－，180°<α<270°，则下列选项正确的是(　　)

A.sin 2α＝－    B．sin ＝

C.cos ＝－    D．tan ＝－2

【答案】BCD　∵180°<α<270°，∴cos α＝－，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误．

∵90°<<135°，∴sin ＝ ＝  ＝；cos ＝－ ＝ ＝－；

tan ＝＝－2，故B、C、D均正确．

9．已知0＜α＜，且sin α＝，则tan ＝______，＝________．

解析：因为0＜α＜，且sin α＝，

所以cos α＝ ＝，所以tanα＝＝，

则tan ＝tan ＝＝7.

＝

＝＝＝.

【答案】7　

10．已知sin(α＋β)＝，sin (α－β)＝.

(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；

(2)若已知0＜α＋β＜，0＜α－β＜，求cos 2α的值．

解：(1)证明：∵sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，

sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，

∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①

3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②

②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0，

则sin αcos β＝5cos αsin β.

(2)∵sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，0＜α＋β＜，0＜α－β＜，

∴cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，

则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝×－×＝.

B级——综合应用

11．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　　)

A.1    B．2

C.    D．

【答案】A　∵2α－β＝，∴β＝2α－，

∴＝1，即＝1，

∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A.

12．若sinαcos β＝，则cos αsin β的取值范围为(　　)

A.    B．

C.    D．

【答案】B　因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝＋cos αsin β，且－1≤sin (α＋β)≤1，

所以－≤cos αsin β≤.

同理sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，

且－1≤sin (α－β)≤1，所以－≤cos αsin β≤.

综上可得－≤cos αsin β≤.

13．(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x，x∈R，则(　　)

A.－2≤f(x)≤2

B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点

C.f(x)的最小正周期为π

D.x＝为f(x)图象的一条对称轴

【答案】ACD　已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin ，x∈R，

对于A：－2≤f(x)≤2，A正确；

对于B：令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，

所以f(x)在区间(0，π)上有2个零点，B错误；

对于C：f(x)的最小正周期为π，C正确；

对于D：将x＝代入函数f(x)＝2sin ，x∈R，则f＝2sin ＝2，

所以x＝为f(x)图象的一条对称轴，D正确．故选A、C、D.

14．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________．

解析：由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，

故cos (α－β)＝＝，

又cosα＝，∴sin α＝，

于是sin β＝sin [α－(α－β)]

＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)

＝×－×＝.

又0<β<，故β＝.

【答案】

15.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值．

解：设QR＝x，则在Rt△BPQ中，BQ＝，在Rt△CSR中，RC＝x tan θ.由＋x＋x tan θ＝a，解得x＝，∴QR＝，∴S1＝AB·AC＝a cos θ·a sin θ＝a2sin  θcos  θ，S2＝QR2＝

∴＝＝＝＋sin 2θ＋1，令t＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0<2θ<π，则t＝sin 2θ∈(0，1]，令g(t)＝＝＋t＋1，

∴g′(t)＝－＋<0，∴函数g(t)在(0，1]上递减，因此当t＝1时，g(t)有最小值，g(t)min＝g(1)＝，此时sin 2θ＝1，θ＝，∴当θ＝时，取得最小值，最小值为.

C级——迁移创新

16．设O为坐标原点，定义非零向量＝(a，b)的“相伴函数”为f(x)＝a sin x＋b cos x(x∈R)，向量＝(a，b)称为函数f(x)＝a sin x＋b cos x 的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

(1)设函数h(x)＝2sin －cos ，求证：h(x)∈S；

(2)记＝(0，2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)＝f(x)＋2|sin x|－1，x∈[0，2π]，与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围．

解：(1)∵h(x)＝2sin －cos

＝－sin x＋cos x，

∴函数h(x)的相伴向量＝，∴h(x)∈S.

(2)∵f(x)＝2cos x，则g(x)＝2cos x＋2|sin x|－1＝x∈[0，2π]，

则g(x)在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，又g(0)＝1，g＝3，g(π)＝－3，g＝3，g(2π)＝1，因为函数g(x)＝f(x)＋2|sin x|－1，x∈[0，2π]，与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，实数k的取值范围为1≤k<3.