23版新高考一轮分层练案(二十二)　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

一轮分层练案(二十二)　两角和与差的正弦、余弦、正切   

          公式及二倍角公式

A级——基础达标

1．若2sin x＋cos ＝1，则cos 2x＝(　　)

A．－    B．－

C．    D．－

【答案】C　因为2sin x＋cos ＝1，所以3sin x＝1，所以sin x＝，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.

2．tan18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】D　∵tan 30°＝tan (18°＋12°)

＝＝，

∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，

∴原式＝.

3．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin (α－β)＝，则sin β＝(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】B　因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝.

因为α，β均为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜，

所以－＜－β＜0，所以－＜α－β＜，

又因为sin (α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，

所以cos (α－β)＝，所以sin β＝sin [α－(α－β)]

＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)

＝×－×＝＝.

4．已知tan ＝－2，则＝(　　)

A．2    B．

C．－2    D．－

【答案】D　由题意得tan ＝＝－2，

所以＝＝＝＝－.

5．计算的值为(　　)

A．－2    B．2

C．－1    D．1

【答案】D　

＝

＝

＝＝

＝＝1，故选D.

6．(多选)下列各式中，值为的是(　　)

A．cos2－sin2    B．

C．2sin195°cos 195°     D.

【答案】BC　选项A，cos2－sin2＝cos＝cos ＝，错误；

选项B，＝·＝tan45°＝，正确；

选项C，2sin 195°cos 195°＝2sin (180°＋15°)cos (180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，正确；

选项D, ＝ ＝，错误．故选B、C.

7．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)

A．cos (－15°)＝

B．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝

C．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝

D．[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝

【答案】BCD　对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误；

对于B，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，B正确；

对于C，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，C正确；

对于D，原式＝·

sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos (60°－10°)]＝2sin (50°＋10°)＝2×＝，D正确．

8．(多选)下列四个命题中是真命题的是(　　)

A．∃x∈R，sin2＋cos2＝

B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y

C．∀x∈[0，π], ＝sin x

D．sin x＝cos y⇒x＋y＝

【答案】BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝|sinx|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．故选B、C.

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设θ＝∠BAC，则tan ＝__________．

解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，又∵AB＝5，

∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，

tan θ＝＝，∴tan＝(负根舍去)，tan ＝5.

【答案】5

10．已知tan α＝2.

(1)求tan 的值；

(2)求的值．

解：(1)tan ＝＝＝.

(2)

＝

＝

＝＝＝1.

B级——综合应用

11．已知x，y∈，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，则x－y的最大值为(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】B　由sin (x＋y)＝2sin (x－y)得sin x cos y＋cos x sin y＝2sin x cos y－2cos x sin y，则tan x＝3tan y，所以tan (x－y)＝＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f(x)＝tan x单调递增，x，y∈，则x－y的最大值为.

12．函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln (x＋1)|的零点个数为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

【答案】B　因为f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln (x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln (x＋1)|＝sin 2x－|ln (x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln (x＋1)|图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln (x＋1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

13．(多选)已知函数f(x)＝sin －cos (0＜ω＜6)的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】BC　因为f(x)＝sin ＝sin ，

由ωx＋＝kπ＋，k∈Z，

因为0<ω<6，所以x＝＋，k∈Z，

由题意可得＋＝1，k∈Z，得ω＝kπ＋，k∈Z，

因为0<ω<6，所以ω＝或ω＝，故选B、C.

14．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范围为________．

解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin (α－β)＝1，

又α，β∈[0，π]，

∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，

∴即≤α≤π，

∴sin (2α－β)＋sin (α－2β)

＝sin ＋sin (α－2α＋π)

＝cos α＋sin α＝sin .

∵≤α≤π，∴≤α＋≤，

∴－1≤sin ≤1，

即sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范围为[－1，1].

【答案】[－1，1]

15．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan (α－β)的值．

解：(1)因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α.

又因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).

又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，

所以sin (α＋β)＝ ＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝－.

因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]

＝＝－.

C级——迁移创新

16．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin (A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．

(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；

(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；

(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；

(4)若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？

(5)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．

解：(1)当A＝30°，B＝30°时，

P＝sin (30°＋30°)＝sin 60°＝，

Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，

R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，∴P<Q<R.

(2)当A＝30°，B＝45°时，

P＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°

＝×＋×＝，

Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，

R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，

∵P－Q＝－＝<0，∴P<Q，

∵Q－R＝－＝<0，∴Q<R，

∴P<Q<R.

(3)由(1)，(2)猜想P<Q<R.证明如下：

∵C为钝角，∴0<A＋B<，

∴A<－B，B<－A，

∴cos A>cos ＝sin B，

cos B>cos ＝sin A，

∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.

∵P－Q＝sin (A＋B)－sin A－sin B

＝sin A cos B＋cos A sin B－sin A－sin B

＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，

∴P<Q.

综上可得P<Q<R.

(4)由(3)知P<Q.

∵P－R＝sin (A＋B)－cos A－cos B

＝sin A cos B＋cos A sin B－cos A－cos B

＝(sin A－1)cos B＋(sin B－1)cos A<0，

∴P<R.

∵△ABC为锐角三角形，

∴0<A<，0<B<，A＋B>，

∴－B<A<，－A<B<，

∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B<cos A＋cos B－sin －sin

＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，

∴R<Q，

综上，P<R<Q.

(5)任意交换两个角的位置，y的值不变．证明如下：

∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，

∴＝－.

y＝tan ＋

＝tan ＋

＝tan ＋

＝tan ＋tan ＋tan ，

因此任意交换两个角的位置，y的值不变．