专题03 实际问题与反比例函数（热考题型）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

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专题03  实际问题与反比例函数【思维导图】◎考点题型1 图形类例．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa）40050080010001250受力面积S（）0.50.4a0.20.16 (1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．变式1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．(1)求关于的函数解析式；(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 变式2．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)．(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；(2)边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案． 变式3．（2022·全国·九年级专题练习）某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、．①求y关于x的函数表达式；②当时，求x的取值范围；(2)洋洋说篱笆的长可以为．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由．  ◎考点题型2 表格类例．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．x2346y72483624 (1)求y与x的函数表达式；(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小可以认为是焦点，此时他测了镜片与光斑的距离可以当做焦距，得到如下数据：老花镜的度数度焦距f/m (1)老花镜镜片是______凸的、凹的、平的，度数越高镜片的中心______越薄、越厚、没有变化；(2)观察表中的数据，可以找出老花镜的度数与镜片焦距的关系，用关系式表示为：______；(3)如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为，可求出这幅老花镜的度数为______．  变式2．（2022·全国·九年级课时练习）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝．(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；(2)根据y与x的关系式补全下表：焦距x/m0.10.2 ……度数y/度1000 400……(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 变式3．（2020·江苏南京·八年级期末）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数，调查数据如表：眼镜片度数y（度）4006258001000…1250镜片焦距x（cm）251612.510…8 （1）求y与x的函数表达式；（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．  ◎考点题型3 几何类例．（2020·宁夏·银川唐徕回民中学三模）“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？ 变式1．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期末）在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条的总长度与面条的粗细（横截面积）的关系如图所示：（1）求y与x的函数关系式；（2）当面条粗时，求面条总长度是多少厘米？ 变式2．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）写出这个函数的表达式；（2）当气球的体积是1.6m3时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于128kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？  变式3．（2022·全国·九年级单元测试）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求与（）的函数表达式；（2）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？  ◎考点题型4 探究类例．（2022·江苏南京·八年级期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：①利用结论1求解；②利用结论2、结论3求解．  变式1．（2022·山东济宁·三模）某种品牌的热水器的工作过程：接通电源后，在初始温度为20℃时加热热水器中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后热水器中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热热水器中的水至80℃时，加热停止；当热水器中的水温下降到20℃时，再次自动加热……按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号热水器中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示热水器中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)下表记录了32min内14个时间点的热水器中水的温度y随时间x的变化情况，则表中m的值为______；接通电源后的时间x（单位：min）012345810161820212432…水箱中水的温度y（单位：℃）203550658064403220m80644020… (2)①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式________；当时，写出一个符合表中数据的函数解析式________；②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图像：(3)如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源______min． 变式2．（2022·山东临沂·二模）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表                 10                  15                  20                  25                 30                 30                  20                  15                  12                 10  (1)把表中的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；(2)观察所画的图像，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；(3)当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？  变式3．（2022·广东深圳·模拟预测）【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为              ．【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整：（1）列表：x…﹣4﹣3﹣10…y…      … （2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：（3）观察图象，彤彤发现以下性质：①该函数图象是中心对称图形，对称中心是       ；②该函数值y不可能等于       ；③当x＞﹣2时，y随x的增大而      （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此．【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越      （填“高”或者“低”），但不会突破      元．