专题05 图形的相似（课后小练）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

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专题04 图形的相似（课后小练）满分100分    时间：45分钟       姓名：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）一、单选题(共24分)1．(本题4分)（2022·广西桂林·九年级期末）如果，那么下列结论一定成立的是（       ）．A．， B．， C． D．【答案】D【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．【详解】故答案为：D．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质包括内项之积等于外项之积、合比性质等是解决问题的关键．2．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是（       ）A．3.5 B．6 C． D．【答案】C【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案【详解】（负值舍去）故选C【点睛】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ，则内项 称为外项 和 的比例中项．3．(本题4分)（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（       ）A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12【答案】D【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、∵3×7 4×6，∴四条线段不成比例；B、∵5×8 6×7，∴四条线段不成比例；C、∵2×8 4×6，∴四条线段不成比例；D、∵8×15 = 10×12，∴四条线段成比例．故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．4．(本题4分)（2022·全国·八年级期中）关于等边三角形，下列说法不正确的是（       ）A．等边三角形是轴对称图形 B．所有的等边三角形都相似C．等边三角形是正多边形 D．等边三角形是中心对称图形【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义，可判断A的正误；根据相似的判定条件，可判断B的正误；根据正多边形的定义，可判断C的正误；根据中心对称图形的定义，可判断D的正误．【详解】解：A、根据轴对称图形的定义，可知等边三角形是轴对称图形，正确，故不符合题意；B、由所有的等边三角形的角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，正确，故不符合题意；C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以等边三角形是正多边形，正确，故不符合题意；D、根据中心对称图形的定义，可知等边三角形不是中心对称图形，错误，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形，相似，正多边形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．5．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（       ）A．4：1 B． C． D．2：1【答案】B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，∴，∵E为AD中点∴∴，∴，∴，∴原矩形纸片长与宽的比为故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．6．(本题4分)（2020·黑龙江鸡西·期末）一个长方形按放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（       ）A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍 C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍【答案】C【分析】一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，利用相似多边形的性质即可解决问题．【详解】解：一个长方形按放大后，得到的图形与原图形相似，周长扩大4倍，面积扩大16倍，所以A、B、D错误，C正确，故选：C．【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是记住相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 二、填空题(共20分)7．(本题5分)（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图，已知点F在上，且，点D是延长线上一点，，连接与交于点N，则__________． 【答案】##【分析】过点F作，交AC于点E，求出，得出，根据已知推出，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．【详解】解：过点F作，交AC于点E， ∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但也是比较容易出错的题目，解题关键求出线段之间的关系．8．(本题5分)（2022·河北沧州·九年级期末）如图，直线，直线和被所截，，则的长为_________． 【答案】【分析】先根据线段和差可得，再根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：，，，，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．9．(本题5分)（2022·全国·九年级单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长__________米处，主持节目效果最佳．【答案】（12 －12）【分析】直接将24乘以黄金分割比即可求解．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割比的实际应用，解题关键是理解黄金分割比的意义，牢记黄金分割比．10．(本题5分)（2022·山东烟台·八年级期末）已知，那么_________．【答案】【分析】设，则，代入计算即可得．【详解】解：由题意可知，，，设，则，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用“设法”进行计算是解决问题的关键． 三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）已知，，求的值．【答案】【分析】利用可得出，，再代入求值即可．【详解】∵，∴，∴．【点睛】本题考查代数式求值和比例的性质．用a表示出b和c是解题关键．12．(本题10分)（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．【答案】5【分析】根据比例的性质求得，代入a+c+e＝5（b+d+f），即可求解．【详解】解：∵，， a+c+e＝5（b+d+f）．，∴k＝5．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．13．(本题12分)（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？【答案】(1)，(2)线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．(1)∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝ ，＝＝(2)由（1）知＝＝ ，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．14．(本题12分)（2021·江苏·涟水县义兴中学九年级阶段练习）根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少（精确到0.1cm）?【答案】4.2cm【分析】设高跟鞋鞋跟的高度为xcm，在这里下肢的长度应包括高跟鞋鞋跟的长度，即（101＋x）÷（166＋x）＝0.618，求出结果精确到0.1cm即可．【详解】答：设高跟鞋鞋跟的高度为xcm，根据题意列方程得：（101＋x）÷（166＋x）＝0.618，解得x≈4.2．故她所选的高跟鞋的最佳高度约为4.2cm．【点睛】考查了利用黄金比例关系求出高跟鞋鞋跟的最佳高度，根据题意正确列出方程是解题的关键15．(本题12分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求证：AH⊥BC；(2)求AG的长．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；(2)设AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的长为．【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．