专题06 相似三角形（热考题型）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

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专题05 相似三角形判定、性质及其模型
【思维导图】

◎考点题型1 相似三角形的判定-定义法
三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
例．（2022·全国·九年级课时练习）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（             ）组．
①； ②； ③；④．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．
【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P在的边上，若要判定，则下列添加的条件不正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、若，可利用AA证得，故本选项不符合题意；
B、若，可利用AA证得，故本选项不符合题意；
C、若，可利用SAS证得，故本选项不符合题意；
D、若，无法证得，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　）

A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC
【答案】B
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】解：A．根据已知条件无法证明△AEC与△ADB，故选项不符合题意；
B．∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠DEA，
∴△ABE∽△DAE ；
故选项符合题意；
C．根据已知条件无法证明△ABC与△ADE，故选项不符合题意；
D．根据已知条件无法证明△AEC与△ADC，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
变式3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（       ）

A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】B
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．

◎考点题型2 相似三角形的判定-平行法
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
例．（2021·河北保定·九年级期末）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
变式1．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）
A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可；
【详解】解：由题意得，∠A＝∠A，
A、当DEBC时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
C、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
D、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故本选项符合题意；
故选：D．

【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明．
变式2．（2021·四川宜宾·九年级期中）如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（       ）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH、△BAG、△CEG、△CDH任意两个三角形都相似．
【详解】​解：∵，，
∴△BFH∽△BAG，
△BAG∽△CEG，
△BFH∽△CEG，
△BFH∽△CDH，
△CEG∽△CDH，
△CDH∽△BAG.
∴相似三角形共有6对.
故选C.
【点睛】本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，以及n个图形任意两个都相似，共有几对相似的计算方法.
变式3．（2021·北京大兴·九年级期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠D
C． D．且∠A=∠D
【答案】B
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：、，，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、且，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

◎考点题型3 判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
例．（2019·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（　　）
A．∠A＝∠B，∠A′＝∠B
B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C
C．∠A＝∠A′，
D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、从∠A＝∠B，∠A′＝∠B只有一个角对应相等，找不出第二组对应相等的角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A′，∠B＝∠C，
只能找到一组对应角∠A＝∠A′，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
C、有两边对应成比例，相等的角∠A＝∠A′，不是边AB、BC，A′B′、B′C′的夹角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
D、AB＝AC，∠A＝∠A′，A′B′＝A′C′，可以利用两边对应成比例，夹角∠A＝∠A′相等，根据两三角形相似判定定理可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握三角形相似判定定理是解题关键．
变式1．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（       ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：∵∠A是公共角，
若，可根据两个角对应相等证明∽，故A选项不符合题意；
若，可根据两个角对应相等证明∽，故B选项不符合题意；
若，则不能判定∽，故C选项符号题意；
若，则可依据两边成比例夹角相等判定∽，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题的关键．
变式2．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室九年级期末）如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（　　）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可．
【详解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠A=∠A，∠EFB=∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF=∠ABD，∠BEF=∠ADB=90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，是的平分线，过点F作，交于点E，交的延长线于点D，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法AA解题．
【详解】解：


是的平分线，


故选项D符合题意，选项A、B、C均不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

◎考点题型4判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
例．（2022·河北保定·九年级期末）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，可得，然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可．
【详解】，
，
，
A、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
B、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
C、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
D、当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，四边形的两条不等长对角线，相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则（       ）

A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
【答案】B
【分析】根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案．
【详解】在和中，，又，∴，即甲丙相似；无法证明，即乙丁不相似．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2021·河北承德·九年级期末）如图，在中，为上一点，若，则（       ）

A．～ B．～ C．～ D．无法判断
【答案】C
【分析】首先根据得出，然后根据即可判定～，从而可得出答案．
【详解】，
．
，
∴～，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
变式3．（2020·广西贺州·九年级阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，，，则CB的长为（       ）

A． B．4 C．12 D．16
【答案】A
【分析】先证明：，再利用相似三角形的性质可得：，再计算即可得到答案．
【详解】解： ，，





，，

或，
经检验：不符合题意，舍去，

故选：
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，利用平方根的含义解方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

◎考点题型5 判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
例．（2020·安徽·九年级阶段练习）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，下列结论中不一定成立的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，运用相似三角形的判定定理逐项分析即可
【详解】∵与都是等边三角形，
∴∠A=∠E=60°，
又∵∠EFB=∠AFD，
∴∠FBE=∠FDA，
∴，A选项正确；
∵∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBD-∠FBD=∠ABC-∠FBD，
∴∠DBC=∠FBE，
∴∠DBC=∠FDA，
又∵∠A=∠C=60°，
∴，B选项正确；
对于C选项，条件不明确，无法证明一定相似，故错误；
∵∠DBF=∠ABD，∠FDB=∠A=60°，
∴，D选项正确．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
变式1．（2020·浙江·滨兰实验学校九年级阶段练习）如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形ABGH的边长为1，先运用勾股定理分别求出FD、DG的长，将其三边按照从大到小的顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可．
【详解】解：设正方形ABGH的边长为1，
∴DF=，DG=，
∴GF：DF：DG=1：：，
A、DF=，DH=，HF=2，DF：HF：DH=GF：DF：DG，
则△DFG∽△HFD，符合题意；
B、HG=1，DG=，DH=，HG：DG：DH≠GF：DF：DG，
则△DFG和△DGH不相似，不符合题意；
C、△DEG是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；
D、△DEH是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法；（2）三边法；（3）两边及其夹角法；（4）两角法；本题还可以利用方法（3）进行判定．
变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的周长之比．
【详解】如图，

∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝1：2，
∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式3．（2021·浙江杭州·九年级阶段练习）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（       ）

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答案】B
【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．
【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．

◎考点题型6 相似三角形基本图形--8字型
有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等
(AB、CD不平行，∠A＝∠C) (AB∥CD)
例．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．

【答案】见解析．
【分析】根据AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根据相似三角形对应变成比例即可．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴△AOB∽△COE
∴
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比例相等是解决本题的关键．
变式1．（2021·重庆·九年级期末）如图与交于，且．
（1）求证：∽．
（2）若，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；
（2）因为∽，根据相似三角形的性质可知，代入数据解答即可．
【详解】证明：（1），，
∽；
（2）∽，
，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．
【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF•EG=AF•DG．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
变式3．（2013·云南德宏·中考真题）如图，是一个照相机成像的示意图．

(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
【答案】(1)7m
(2)70mm

【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解．
（2）和（1）一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．
(1)
解：∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，

∵，
∴，
解得：LD=7．
∴拍摄点距离景物7 m．
(2)
解：∵拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，
∴，
解得：LC=70．
∴相机的焦距应调整为70mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确理解题意得到是解题的关键．


◎考点题型7 相似三角形基本图形--A字型
有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例

例．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．

【答案】（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．
变式1．（2021·江苏·九年级）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．

【答案】
【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．
【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点D在AB上，，
∴，，
∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为，
当和时，均有，
综上分析，的取值范围是．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键．
变式2．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）
中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?

【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或
【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；
（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；
（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，
∵AC=20cm，
∴CP=（20-4t）cm，
在Rt△CPQ中，
，
即；
∴秒或秒
（2）由题意得，，则，
因此的面积为；
（3）分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得．
因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
变式3．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．

【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

◎考点题型8 相似三角形基本图形--母子型
有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)

例．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
变式1．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．

【答案】（1）见解析；（2）18
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC= BM2=18．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∵AB＝6，
∴BM＝ABsin45°==，
∴MN•MC＝BM2＝18．

【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
变式2．（2021·安徽合肥·九年级期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；
（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
变式3．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．

◎考点题型9 相似三角形基本图形--K字型
如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似

例．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
【答案】(1)等边三角形
(2)
(3)4

【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
(1)
∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
(2)
过E作EH⊥BC于H，

由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE•PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
(3)
∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，

则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．
故PE＝4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．
变式1．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．

【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，

，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，

在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，

在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，

在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．
变式3．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．

【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

◎考点题型10 相似基本模型（手拉手型）
基础模型：

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
例．（2021·全国·九年级专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．

【答案】和的面积分别为2和．
【分析】过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDC∽AEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求．
【详解】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，

∵AC=2，，
∴，
又∵，，
∴在BAC和DEC中，，，由旋转性质知，，，
∴BDC∽AEC，故，
在DMC中，，，
∴，
∴，
∵BDC∽AEC，
∴，∴，
∴BDC和AEC的面积分别为2和．
【点睛】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC∽AEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知点在内，，，，．

（1）当时，求证：；
（2）当时，求的值．
【答案】(1)见解析;(2) .
【分析】（1）连结，易证，然后得到，，然后利用直角三角形性质得到
（2）连结，易证，设在直角三角形EBD中由相似比可直接得到答案
【详解】如图所示图1，（1）连结，
易证，∴，证，，
∴
（2）如图所示图2，
∴∴，
∴∴
又∵，
设，则，
∵∴，∴

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键
变式2．（2022·河南周口·九年级期末）观察猜想

(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)成立
(3)

【分析】（1）利用可证明，继而得出结论；
（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论．
(1)
证明：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
．
(2)
解：结论仍成立；
理由如下：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
．
(3)
解：；
理由如下：，，
∴，
又∵，
，
∴，
，
又，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；
(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)

【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再结合三角形中学性质即可解得；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和，得，再通过四点共圆证明，进而可得，从而可证明为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造，得AD=BP，继而证明（SAS），从而可得，由此即可得出结论；
（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造，得出即D为AC的中点时，取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．
(1)
解：如解图1，过点D作DH⊥AB，
∵∠ABD＝45°，
∴，
∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，
∴，
∴，
∴，
   又∵AB＝2+2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为BD的中点，
∴；

(2)
如解图2，过点A作，垂足为G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，
∴BG=GC，
∵BM=DM，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴A、M、G、N四点共圆，
∴，
∴，
又∵MP=AM，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，
∵BM=DM，，
∴（SAS）
∴AD=BP，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∴；

(3)
取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，
∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵BM=MD，BK=KQ，
∴，
又∵AB=BC，
∴，
∴，
∴，当M点与K点重合时，取最小值，此时取最小值，
∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时，取最小值，如解图3-2；
设AD=a，
∵ 是等边三角形，D点是AC的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
        
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．

◎考点题型11 相似基本模型（一线三等角型）
基础模型：

如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．

【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】解：（1）
如图可知：
在中，
又

．
（2），
是等腰直角三角形

BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，


点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．

（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；
（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；
（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．
【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．

∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如图②中，结论：．

理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如图③中，结论：，
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．

∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．

【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值为4．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．
【详解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，

∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，即
整理得，BD＝，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键．
变式3．（2020·全国·九年级课时练习）如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
（1）求证：AD=BE；     （2）求证：△ABF∽△ADB．     

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】（1）∵ 是等边三角形，
∴，，，即．
∴在和中，有

∴，
∴；
（2）由（1）知，∴，
由题意知：，
∴，即，
∴，
∴在和中，有：，
∴．

◎考点题型12 利用相似求坐标
例．（2023·江西·九年级专题练习）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．


(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先根据点在反比例函数上求出，然后将点和点代入一次函数解析式即可得出答案．
（2）如图，过点作轴交轴于点，交轴于点，设出点的坐标，根据代入即可得出答案．
（1）
解：将代入，得，
∴点的坐标为．
将和代入，
得，
解得．
（2）
：如图，过点作轴交轴于点，交轴于点．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则，，，

∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解．
变式1．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接

(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．
(1)
点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
，   点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
(2)
∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
变式2．（2021·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点B（1，3）和点A（4，0），过点B作直线BC∥x轴，交y轴于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．连接OB，是否存在点P，使得以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出对应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+4x
(2)存在，点P的坐标为（0，0）或（﹣，﹣）或（6，﹣12）或（，）

【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先设出点P的坐标，分点P在B的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形的性质即可求出点P的坐标．
(1)
解：把点A，B代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；
(2)
若点P在点B的左侧，如下图，

设点P（x，﹣x2+4x），
∵以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，
∴或，
∴或，
解得x＝0或x＝1或x＝ ，
当x＝1时，P与B重合，故x＝1舍去，
∴x＝0或x＝，
当x＝0时，y＝0，当x＝时，y＝，
∴点P的坐标为（0，0）或（，），
若点P在点B的右侧，如下图，

∵以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，
∴或，
∴或，
解得x＝1或x＝6或x＝，
当x＝1时，P与B重合，故舍去，
当x＝6时，y＝﹣12，当x＝，y＝，
∴P的坐标为（6，﹣12）或（，），
综上，点P的坐标为（0，0）或（﹣，﹣）或（6，﹣12）或（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与相似三角形的综合，熟知相关知识利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用反比例函数（x＞0）经过点A(m，4)和点B(6，2)，可确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可得答案；
（2）根据AB解析式可得出C、D坐标，可得OD、OC得长，根据两点间距离公式可得AD得长，分PA⊥OD时，AP'⊥CD两种情况讨论，利用相似三角形得性质即可得答案．
【详解】（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），
∴3=，，
解得：m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）如图，当PA⊥OD时，
∴PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
∵A（2，3），点P在x轴上，
∴P（2，0）．
②当AP′⊥CD时，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴当y=0时，x=8，x=0时，y=4，
∴C（0，4），D（8，0），
∴AD==，OD=8，OC=4，CD==，
∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，
∴△P′DA∽△CDO，
∴，即，
解得：DP′=，
∴OP′=OD-DP′=
∴P′（，0），

综上所述：满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

◎考点题型13相似三角形的性质--边和角
相似三角形的对应角相等，对应边的比相等
例．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形中，为边上的一点，为边上的一点．且，，，则的边长为（        ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角性质得到根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
．
，，
∽，
，
设，
，
解得：，
的边长为，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
变式1．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）若，与的面积比为，则与的对应边的比是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比即可．
【详解】解：∵且与的面积比为
∴它们的相似比为5：6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．
变式2．（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（       ）

A．32° B．48° C．64° D．86°
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，
∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
变式3．（2022·河南许昌·九年级期末）如图，点D、E分别在的边BA、CA的延长线上，且，若，，则（       ）

A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再由相似比1∶3可得面积比为1∶9，即可解答；
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD∶AB=1∶3，
∴△ADE面积∶△ABC面积=1∶9，
∵△ADE面积=4，
∴△ABC面积=36，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．

◎考点题型14 相似三角形的性质--线段的比
相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
例．（2022·全国·九年级课时练习）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(   )

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．
变式1．（2020·浙江宁波·九年级期中）如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ）

A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2
【答案】A
【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案.
【详解】解：∵AD：DB=2：1
∴AD：AB=2：3
∵△ADE∽△ABC,
∴AD：AB=2：3
∴△ADE与△ABC的相似比为2:3.
故答案为：A.
【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键.
变式2．（2022·甘肃天水·九年级期末）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【详解】解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，
∴S△ADE=S△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
变式3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，
故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.

◎考点题型15 似三角形的性质--面积比
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
例．（2021·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，DE∥BC，，则等于（       ）

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
【答案】D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确相似三角形面积比等于相似比的平方．
变式1．（2022·河北唐山·八年级期末）的面积是，则它的三条中位线所围成的三角形的面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中位线的性质即可得出，则，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得出正确答案．
【详解】如图所示，

∵DE是的中位线，
∴，即，同理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，证明是本题的关键．
变式2．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，与位似，、、分别为OA、OB、OC的中点，若面积是5，则的面积为（       ）

A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】B
【分析】由△ABC和△是位似三角形，为OC中点，可知△ABC∽△，相似比为2：1，根据可得答案.
【详解】∵△ABC和△是位似三角形，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，
∴△ABC∽△，相似比为2：1，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
又∵△的面积为5，
∴△的面积为：54=20．
故选：B．
【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握位似图像的定义是解题关键.
变式3．（2022·河南新乡·九年级期末）与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

◎考点题型16 相似三角形中的动点问题
例．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度，沿AC边向终点C运动，点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度，沿AB边向终点A运动，两点同时出发，设运动时间为．

(1)求出点Q到AC的距离（用t表示）；
(2)设△APQ的面积为y，求出y关于t的函数解析式；
(3)当△APQ与△ABC相似时，直接写出t值．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）先求出AB，进而表示出AQ，再判断出△AHQ∽△ACB，得出比例式求解，即可求出答案；
（2）借助（1）的结论，利用三角形的面积公式求解，即可得出答案；
（3）分两种情况，利用三角形相似得出比例式建立方程求解，即可求出答案．
(1)
解：如图，过点Q作QH⊥AC于H，则∠AHQ＝90°，

∵∠C＝90°，
∴QH∥BC，
∴△AHQ∽△ACB，
∴，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，
由运动知，BQ＝5t，
∴，
∴QH＝3﹣3t，
即点Q到AC的距离为3﹣3t；
(2)
如图，过点Q作QH⊥AC于H，

由（1）知，QH＝3﹣3，
由运动知，AP＝4t，
∴y＝S△APQ＝AP•QH＝•4t（3﹣3t）＝﹣6t2+6t；
(3)
由（1）知，AQ＝5﹣5t，
由（2）知，AP＝4t，
∵△APQ与△ABC相似，且∠A＝∠A，
∴①当△APQ∽△ACB时，，
∴，
∴t＝；
②当△APQ∽△ABC时，，
∴，
∴t＝，
即当△APQ与△ABC相似时，t值为或．
【点睛】主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
变式1．（2022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB 的三边OA=，OB=6，AB=，以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点P停止运动．

(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；
(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；
(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值．
【答案】(1)A(4，4) ，
(2)MN=6-
(3)S= ()，S最大=12； S最小=0

【分析】（1）过点A作ACOB，交OB于点C，交MN于点D ，设OC=x，则BC=6- x，由勾股定理可得，从而得到x=4．进而得到AC=4．即可求解；
（2）根据題意可得OP=t ，则CD= t ，再由△AMN ∽ △AOB．即可求解；
（3）根据S=MN×AD ，可得到S关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
(1)
解：过点A作ACOB，交OB于点C，交MN于点D ，
设OC=x，则BC=6- x，


∵，
∴，
∴ ()2 -x2=()2 -(6-x)2
解得：x=4．
∴ AC==4．
∴ A(4，4) ，
∴．
(2)
解：根据題意得OP=t ，则CD= t ，   
∴AD=4-t
∵MN∥OB，
∴△AMN ∽ △AOB．
∴，
∴，
∴ MN=6 ；
(3)
解：S=MN×AD =(6)(4-t)==，
∵ 二次函数图象的对称轴是直线t=4，开口向上，
∴ S随着t 的增大而減小．
∴ 当t=0时，S有最大值，S最大=12；
当t=4时，S有最小值，S最小=0．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．
变式2．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边以2cm/s的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒钟后，以点、、三点为顶点的三角形与相似？

【答案】或秒
【分析】设经秒钟与相似，由是公共角，分和两种情况讨论，根据相似的性质列出比例式，分别解方程求解即可．
【详解】解：设经秒钟与相似，则，，
∵，，∴，
∵是公共角．
∴①当，即时，
，解得；
②当，即时，
，解得．
∴经或秒时，以点、、三点为顶点的三角形与相似
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
变式3．（2021·湖南邵阳·九年级阶段练习）如图，已知，，点、分别是线段、上的动点，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，点、中有一个点停止时，另一个点也停止，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，为直角三角形；
（2）当为何值时，是等腰三角形？并求此时点的坐标．

【答案】（1）或；（2）当或或时，为等腰三角形，此时，点的坐标分别是，，
【分析】（1）根据题意可得：运动秒时，，，．然后分两种情况：当时，和当时，，最后根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）过作于，于．可证得，从而得到，，进而得到：然后分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：（1）运动秒时，，，．
①当时，，
，
，
．
②当时，，
，
，
．
综上：当或时，为直角三角形；
（2）如图，过作于，于．

，
．
，
，
，
，
，，
，
．
①如图，当时，

，解得：，
；
②如图：当时，过作，交于，

∴是的中点，
∴，
∵， ，
∴ ，
∵ ，
∴，
，
，解得，
；
③如图，当时，过作，交于，

∴是的中点，即．
∵， ，
∴，
∵ ，
∴，
，
，解得：，
．
综上，当或或时，为等腰三角形，此时，点的坐标分别是，，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

◎考点题型17 相似三角形中的折叠问题
例．（2022·广东茂名·二模）在矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．

(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°，再由折叠的性质可得．可证得∽．即可求解；
（2）过点E作交AD于H，由折叠的性质可得，从而得到．然后设，则，由勾股定理可得，从而得到．再证得∽，即可求解．
(1)
解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∴．
∵，
∴∽．
∴．
(2)
解：过点E作交AD于H，

∵，
∴．
∵由折叠性质得，∠DPE=∠A=90°，
∴，
∴．
设，则，
∵E是AB的中点，
∴，
∵AE2+AH2=EH2，
∴，
解得：，即，
∴．
∵，
∴∠HEP=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴∽，
∴，即，
解得，
∴BF的长为．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式1．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级期中）将按如图的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为EF．，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，求BF的长度．

【答案】或2
【分析】设BF=x，则CF=4-x，由折叠的性质得F=BF=x，分两种情况：当△FC∽△ABC时，，求出x值；当△FC∽△ABC时，得到F=FC，即x=4-x，求出x的值即可．
【详解】解：设BF=x，则CF=4-x，
由折叠的性质得F=BF=x，
当△FC∽△ABC时，，
∴，
解得x=；
当△FC∽△ABC时，∠FC=∠B=∠C，
∴F=FC，
∴x=4-x，
解得x=2，
综上，BF的长度为或2．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，折叠的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键，解题中注意运用分类思想讨论问题进行解答．
变式2．（2021·吉林·长春市第一零九中学九年级阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（2）如图2，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝3，AB＝5，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则＝　 　．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意证明即可得证AC2＝AD•AB；
（2）根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，进而证明，列出比例式求得，进而根据求得，再求得．
【详解】（1）∠ACD＝∠B，，
，
，
；
（2）折叠，
，
，
，
，
，
，
AC＝BC＝3，AB＝5，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形是解题的关键．
变式3．（2020·安徽马鞍山·八年级期末）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处．

（1）连接，求证：；
（2）求折痕的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，利用矩形的性质，求出，的长度，证明平分，再证△ABE≌△GBE，得到∠AEB=∠GEB，从而可得∠BEF=90°；
（2）证，利用相似的性质即可求出的长度．
【详解】解：（1）证明：连接，
四边形为矩形，
，，，
为中点，
，
由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
又∵AE=EG，∠A=∠EGB=90°，
∴△ABE≌△GBE（AAS），
∴∠AEB=∠GEB，
，
；

（2），
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．

◎考点题型18 相似三角形的实际应用
解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.
例．（2022·河南商丘·九年级期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示），

【答案】 ；图像见解析．
【分析】根据同一时刻，用物体与影子构成相似三角形，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】图像如下：

如图分别为雕塑与小永的实物与影子图
两物与地面垂直

都在同一时间点的阳光照射下，

~


则雕塑高为
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻构造出相似三角形为关键．
变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？

【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析
【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．
【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
（2）．
作边上的高，交于点M．


由，
得，解得．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为，
则，解得．
∵，
∴（1）的情形下正方形的面积大．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）一个阳光明媚的午后，小丽和小明准备测量千金塔的高度（塔的顶部A不易到达，底部B可以到达），他们所带的测量工具有：①可调节高度的标杆、②皮尺、③自制三角板（角度未知）．请你用学过的知识设计一种测量塔高的方案．

(1)你所选用的测量工具是______；（填序号）
(2)画出测量示意图，并用a、b、c等字母表示出测量数据；（不要求写操作步骤）
(3)结合测量数据，用含a、b、c等字母的式子表示出千金塔的高度AB．
【答案】(1)①②
(2)见解析
(3)千金塔的高度AB为点

【分析】（1）根据题意选用①②，即可；
（2）根据题意，画出测量示意图，测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c，即可求解；
（3）证明，可得，即可求解．
（1）
解∶ 所选用的测量工具是①②．
故答案为：①②
（2）
测量示意图如图所示：

测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c．
（3）
解：根据测量过程得：，，
∴，
∴，即，
∴，
即千金塔的高度AB为点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？

【答案】河宽为12米
【分析】连接，根据题意可得出四边形为矩形，由可求得，便可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵点、、共线，、均垂直与河面，且，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵、、均垂直与河面，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（米）．
答：河宽是米．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．