【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 与线段中点有关的动点问题

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与线段中点有关的动点问题
1．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（　　）

A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．

3．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．


4．如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　．
③当t＝　 　时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为　 　．
(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
6．如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；
（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；
（3）当厘米时，求t的值．


7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；

【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．

8．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，

（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？

10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．

11．【新知理解】
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．
（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；
【解决问题】
（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？

12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝ ，MN ＝ ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）

13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？

14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：

（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；
（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；
（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．
15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，
（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：
①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?
②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?

16．如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．

（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；
②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当___时，、两点到点的距离相等．


答案与解析
1．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（　　）

A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，
图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．
2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．

【答案】①②##②①
【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解．
【详解】解：∵AC比BC的多5，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴AC=15，
∴BC=2AC，故①正确；
根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，
∴BP=45-3t，
∵M为BP的中点，
∴，
∴，
∵N为QM的中点，
∴，
∴AB=4NQ，故②正确；
当时，当点P在线段AB上，
∵，
∴，
解得：；
当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，，
∵，
∴，
解得：；
当时，点P位于点Q右侧，不成立，
综上所述，当时，或20，故③错误，
∴正确的结论是①②．
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键．
3．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．

【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
4．如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)秒或秒

【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
（1）
AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）
AB=12，，
，，
设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，
解得，
故答案为：8；
（3）
设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　．
③当t＝　 　时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为　 　．
(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；
(2)当t＝1或3时，；
(3)不发生变化，，理由见解析．

【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；③当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，根据此及②中结论得出方程求解即可；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．
(1)
解：①由题意得：，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
②由题意得：t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
③∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，
∴，
解得：，
∴当时，P、Q相遇，
此时，，
∴相遇点表示的数为4；
故答案为：2；4；
(2)
解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，
又∵，
∴，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，；
(3)
解：不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．
6．如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；
（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；
（3）当厘米时，求t的值．


【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，
【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可；
（2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论；
（3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论；
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴
∴
（2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，
∴，
P到达C之前时

∵点C恰好为PQ的中点
∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ
∴
解得
P到达C之后时

∵点C恰好为PQ的中点
∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ
∴
解得
故当点C恰好为PQ的中点时或
（3）当P、Q到达C之前时，
，
∴
解得
当P到达C之后、Q到达C之前时，
，
∴
解得
当P到达D点时此时，，，
当P到达D点以后、Q到达D之前，，
解得
综上当厘米时，、、8，
【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等．
7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；

【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．

【答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或．
【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长．
（2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有．
（3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设，利用圆周率点及题（2）的结论，求出，最后求出MN的长度即可．.
（4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：，，，，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值．
【详解】（1）,，
，
．
（2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
，．
设， ，则有，，
，
，
，
．
（3）由题意可知：C点表示的数是
均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点里O点近，且，，
，解得，
，，，
由（2）可知：
．
（4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况．
①若，则有，解得．
②若，则有，解得．
③若，则有，解得．
④若，则有，解得．
综上所述，点D表示的数是1或或或．
【点睛】本题是新定义题型，主要考察了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键．
8．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，

（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2）是线段CD的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．
当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．

t秒后，，．
当P点是“奇妙点”时，．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时，．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；
当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？

【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5
【分析】（1）根据非负数的和等于0，则=0，=0，进而即可求解；
（2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解；
（3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵，≥0，≥0，
∴=0，=0，即：a=10，b=-6，
∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，
∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是：10-8t，
故答案是：10，-6，10-8t；
（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，
∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；
（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，
∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键．
10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．

【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，
答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：

如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP
＝PB﹣PA
＝（PB﹣PA）
＝AB
＝×8
＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
11．【新知理解】
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．
（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；
【解决问题】
（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？

【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6
【分析】（1）根据“奇点”的定义即可求解；
（2）分当N为中点时, 当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可；
（3）分由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时；当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．
【详解】（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”，
线段的中点是这条线段的“奇点”，
（2），点N是线段CD的奇点，
可分三种情况，
当N为中点时，,
当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，,
当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，
（3）,
秒后，，
由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
当P为A、Q的巧点时，有三种情况；
1）点P为AQ中点时，则，即，解得：
2）点P为AQ三等分点，且点P靠近点A时，则,即，解得：
3）点P为AQ三等分点，且点P靠近点Q时,则，即，解得：
当Q为A、P的巧点时，有三种情况；
1）点Q为AP中点时，则，即，解得：
2）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点A时，则,即，解得：
3）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点P时,则，即，解得：
【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝ ，MN ＝ ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）

【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知识迁移]或
【分析】（1）根据运动速度分别表示出点P和点Q在数轴上所对应的数，然后根据相遇时刻列方程求解，结合线段中点的定义求MN的长度；
（2）根据数轴上两点间距离列方程求解，然后分别确定点P和点Q在数轴上所对应的数，结合中点和两点间的距离公式求线段MN的长度；
[知识迁移]分OP与OQ相遇前及相遇后两种情况，结合角平分线的定义和角的数量关系分析求解
【详解】解：（1）由题意可得点P：－2＋t，点Q：6－3t，
当P与Q相遇时，－2＋t=6－3t，解得：t=2
此时P点表示0，Q点表示0
∵M、N分别为PA、QB的中点
∴MP=，NP=
∴MN＝MP+NP=4
故答案为：2；4

（2）点P：－2＋t，点Q：6－3t，
则PQ＝，即，解得t＝1或3
①当 t＝1时，点P：－1，点Q：3，则点M：，点N：，
∴MN＝=6
②当 t＝3时，点P：1，点Q：－3，则点M：，点N：，
∴MN＝2
∴线段MN的长为6或2
[知识迁移]①如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
②如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
综上，或
【点睛】本题考查一元一次方程的应用及线段中点、角平分线的定义、角的数量关系，，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．
13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？

【答案】（1）8cm；（2）4s或或
【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，列出关于t的方程，问题可解．
【详解】（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）设点P、Q运动时间为ts，由题意得，下面分别讨论之．
①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，如图1

由图得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得
10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，如图2

由图得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得
2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，如图3

由图得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得
6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，如图4

由图得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得
2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），
综上所述：t＝4或或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：

（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；
（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；
（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．
【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4
【分析】（1）根据题意以及数轴上所表示的数字写出点D、A表示的数字；
（2）根据等量关系：点B运动的距离-13=3，列方程求解；
（3）线段CD的中点P的位置为8，分情况讨论即可．
【详解】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，
∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；
（2）B运动到CD上时，走过的路程为，减去BC的距离即为此时BC的长度，
故：2t-13=3，解得：t=8；
（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：
①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；
②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；
③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；
综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，
（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：
①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?
②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?

【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．
【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；
（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可．
【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点，
∴OB＝AB−OA＝12，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为−12；
点P运动t秒的长度为4t，
∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6−4t；
（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，
解得t＝3，
答：当点P运动3秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则18＋2a−4a＝8，解得a＝5；
当P超过Q，则18＋2a＋8＝4a，解得a＝13；
答：当点P运动5或13秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键．
16．如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．

（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；
②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；
②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴A、C两点距离为：；
故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，
∴5+1×1=6，
∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当时，如图所示：

则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：

∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，
∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：

∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，
∴，
解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：

∴，，
∵PB=BQ，
∴，
解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；
故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．