人教版27.3 位似综合训练题

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专题07 位似
【思维导图】

◎考点题型1 位似图形
如图，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比.
注意：
①位似图形是相似图形的特例； 
②位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； 
③位似图形的对应边互相平行或共线.

性质：
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.  
1.位似图形对应线段的比等于相似比；
2.位似图形也是相似图形.
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心.
4.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　）

A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
∵将△ABC的三边缩小到原来的，
∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（       ）

A．// B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
【详解】以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，
∴和是位似图形，
∴~，故C正确；
∴， 又
~
∴
∴//故A正确；
∵把的各边放大为原来的2倍得到，
∴
∴，故B选线说法错误；
∵，故D正确；
∴说法错误的是：B选项；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．
变式2．（2023·河北·九年级专题练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点到点和点的距离之比（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质判断即可；
【详解】解：∵△ABO∽△A′B′O′，
∴BO∶B′O′=3∶6=1∶2，
即两三角形的相似比为1∶2，
∴点到点和点的距离之比为1∶2，
故选： A．
【点睛】本题考查了位似的性质：位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质；掌握位似的性质是解题关键．
变式3．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，若△AOB的面积为4，则△OEF的面积为（　　）

A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，
∴．
∵∠AOB=∠FOE，
∴．
∴△AOB和△FOE的相似比是2．
∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4．
∵△AOB的面积是4．
∴△FOE的面积是1．
故选：C．
【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．

◎考点题型2 判断位似中心
例．（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（       ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐标即可．
【详解】作图如下：

延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)．
故选：B．
【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键．
变式1．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　）

A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）
【答案】C
【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．
【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），
故选：C．

【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是正三角形的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似中心是（       ）

A．点O B．点P C．点 D．点Q
【答案】A【分析】先根据三角形中位线定理可得P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR，，得出△P′Q′R′∽△PQR，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心即可得．
【详解】解：∵P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，
∴P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR，，
∴△P′Q′R′∽△PQR，
又∵点P′在PO中点、点Q′在QO中点、点R′在RO中点，
∴点P′与点P，点Q′与点Q，点R′与点R的连线都经过点O，
∴△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，其位似中心是点O，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．
变式3．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级阶段练习）如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（       ）

A．点N B．点O C．点M D．点P
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形的性质得出答案．
【详解】解：如图，位似中心是点P．

故选D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

◎考点题型3 求位似图形的相似比
例．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用位似图形性质得到EH∥AD，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴EH∥AD，
∴
∴
又∵，
∴＝．
故选：A．
【点睛】此题考查了位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，利用位似图形概念得到EH∥AD是解题关键．
变式1．（2022·贵州六盘水·九年级期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用位似的性质得到EH∥AD，GH∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴EH∥AD，GH∥CD，
∵EH∥AD，
∴，
∵GH∥CD，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似的两个图形是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
变式2．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且，则△ABC和△ADE的位似比是（        ）

A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，进而求出位似比．
【详解】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△ADE，
∵，
∴△ABC和△ADE的相似比是2：1，即△ABC和△ADE的位似比是2：1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
变式3．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的相似比为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用位似图形的性质解答．
【详解】解：与位似，点O为位似中心，



即相似比为
故选：A．
【点睛】本题考查位似图形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

◎考点题型4 求位似图形的对应坐标
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
例．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出PO=OA=2，然后写出P点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为-1，
∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴，
∴PO=OA=2，
∴P点坐标为（-2，0）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
变式1．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为坐标原点O．已知点，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点和点的坐标求出，进而求出与△的位似比，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：点，，
，
，
与△的位似比为，
点的坐标为，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，解题的关键是根据题意求出与△的位似比．
变式2．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，若△ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．

故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．
变式3．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点P的坐标即可．
【详解】由题意可知，点P为位似中心，
，，，，
矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形





即

故位似中心P的坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，解决本题的关键是借助相似比求出线段长度．

◎考点题型5 求位似图形的周长比和面积比
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A′（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（          ）

A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵△ABC和△A'B'C′位似，位似中心为原点O，点A（-1，2）、点A'（2，-4），
∴△ABC和△A'B'C′的相似比为：1：2，
∴△ABC和△A'B'C′的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为4，
∴△A'B'C′的面积是：16．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
变式1．（2022·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若，，则△OAB与△OCD的面积比为（          ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【分析】先根据A、C的坐标求出，则△OCD和△OAB的位似比为3：1，再根据位似图形面积之比等于位似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∴，
∵△OCD是经过△OAB以原点为位似中心放大后得到的，
∴△OCD和△OAB的位似比为3：1，
∴△OAB与△OCD的面积比为1：9，
故选D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，坐标与图形，熟知位似图形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
变式2．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）如图，在平面直角坐标中，菱形OABC与菱形ODEF位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则菱形OABC与菱形ODEF的周长比是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点，点得到OA=5， OD=10，根据相似形的性质求出得到答案．
【详解】解：点，点，
OA=5， OD=10，
菱形OABC与菱形ODEF位似，位似中心是坐标原点O．
菱形OABC周长菱形ODEF周长=，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、对应边平行是解题的关键．
变式3．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（       ）

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于；
故选D．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．

◎考点题型6 画位似图形
1.确定位似中心.
2.确定原图形的关键点.
3.确定位似比.
4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .
例．（2022·河北邯郸·二模）在如图所示正方形网格图中，以O为位似中心，把线段放大为原来的2倍，则A的对应点为（       ）

A．N点 B．M点 C．Q点 D．P点
【答案】B
【分析】根据位似变换、位似中心的概念解答即可．
【详解】解：如图，

以O为位似中心，把线段AB放大为原来的2倍，根据位似的性质，则点A到点O的距离和点A的对应点到点O的距离的比是1：2，
故点A的对应点是M点．
故选B．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，而且每一对对应点到位似中心的距离的比都等于位似比．
变式1．（2021·河北·邯郸市永年区教育科学研究所八年级期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比(　　)
A．形状不变，图形缩小为原来的一半
B．形状不变，图形放大为原来的2倍
C．整个图形被横向压缩为原来的一半　　
D．整个图形被纵向压缩为原来的一半
【答案】D
【详解】试题解析：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，
∴整个图形被纵向压缩为原来的一半
故选D．
考点：位似变换．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（       ）

A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），
∴AB＝2，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，
∴线段DF的长度为AC＝，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
变式3．（2022·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（       ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，

由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．