数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂达标检测题

这是一份数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂达标检测题，文件包含专题10解直角三角形及其应用热考题型-解析版docx、专题10解直角三角形及其应用热考题型-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
专题10  解直角三角形及其应用【思维导图】 ◎考点题型1  解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A=   =     4. cos A=   = 5. tan A=   = 例．（2022·广东深圳·二模）如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（       ）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（       ）A．米 B．米 C．米 D．米变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（       ）A． B． C． D．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）在 Rt△ABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  4 ．下列四个选项，正确的是（       ）A．tan B  B．cot B  C．sin B  D．cos B  ◎考点题型2 解非直角三角形例．（2021·全国·九年级课时练习）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（       ）A．km B．km C．km D．km变式1．（2022·广西河池·二模）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取结果保留一位小数，则A，B间的距离为（）A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里 变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里．A． B． C． D． 变式3．（2019·全国·九年级单元测试）今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0 B．28.5 C．27.5 D．27.0 ◎考点题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积例．（2021·全国·九年级专题练习）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（       ）A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）A．608 B．608 C．64 D．68 变式2．（2020·浙江·宁波市惠贞书院八年级期末）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（       ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（     ）A． B． C． D． ◎考点题型4 仰俯角问题例．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）   变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：甲：我站在此处看树顶仰角为45°.乙：我站在此处看树顶仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5m．乙：我们俩相距20m．请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 变式3．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，） ◎考点题型5 方位角问题例．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）变式1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，一艘轮船在海面上由南向北航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的北偏东34°方向上，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的东北方向上，已知轮船航行的速度是每小时40海里．求此时轮船与灯塔C的距离AC．(结果保留整数，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，)变式2．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上． (1)求的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 变式3．（2022·山东德州·二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=8km．有一艘小船在点P处，从A处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线的距离（结果保留根号）；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（结果精确到0.1km，，） ◎考点题型6 坡度比问题例．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2． 设AE=30dm，BC=50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°． (1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4） 变式2．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．(1)求点到建筑物的水平距离；(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．） 变式3．（2022·海南三亚·一模）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处测得楼房顶部A的仰角为，已知坡面米，山坡的坡度（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)填空：_______度；(2)求楼房AB高度（结果保留根号）． ◎考点题型7 其它问题例．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）某中学九年级数学课外学习小组某天下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆的顶端A的影子落在教学楼前的草坪地C处，测得影长，，，与地面的夹角，在同一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．根据这些数据求旗杆的高度． 变式1．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60） 变式2．（2022·辽宁大连·二模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题：(1)求滑竿DE的长度；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：，，，．  变式3、为提高防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）