福建省福州市长乐市朝阳中学2022-2023学年上学期九年级数学第二次月考测试题(含答案)

这是一份福建省福州市长乐市朝阳中学2022-2023学年上学期九年级数学第二次月考测试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2+bx+c，圆内接四边形ABCD中，∠A等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市长乐市朝阳中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）
一．选择题（共6小题，满分18分）
1．下列所述的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．矩形 B．正三角形 C．正五边形 D．直角三角形
2．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0根的判别式的值是（　　）
A．20 B．﹣20 C．﹣28 D．28
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
4．如图，在⊙O中，A，B，P为⊙O上的点，∠AOB＝68°，则∠APB的度数是（　　）

A．136° B．34° C．22° D．112°
5．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分）
7．在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球　 　个．
8．某公司今年元月份利润为500万元，以后两个月均匀增长，第一季度的利润1820万元，设该公司利润月平均增长率为x，根据题意可列方程　 　．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12+x22＝13，则a＝　 　．
10．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C的度数等于　 　．
11．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2018A2019B2019的顶点A2019的坐标是　 　．

12．如图，∠A＝30°，点E在射线AB上，且AE＝10，动点C在射线AD上，当△AEC为等腰三角形时，AC的长为　 　．

三．解答题（共5小题，满分30分）
13．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
14．如图1，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，点O是边AB上一点，以O为圆心，AO长为半径作圆．
（1）当OA为何值时，⊙O与边BC相切？
（2）若⊙O过点B时（图2），⊙O交边BC与点E，过点E作⊙O的切线，交边DC于点F，连接AE，AF，判断△AEF的形状，并证明你的结论．

15．有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）求两次摸出的球的标号相同的概率；
（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．
16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标　 　．

17．如图⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（1）如图①点P、点A位于弦BC的异侧，画出∠P的平分线（用虚线画出图形即可，不需要写作法）；
（2）结合图②，点P、点A位于弦BC的同侧，画出∠P的平分线．

18．新华商场销售某种电子产品，每个进货价为40元，调查发现，当销售价格为60元时，平均每天能销售100个；当销售价每降价1元时，平均每天多售出10个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每天达到2240元．
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
19．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
（1）估计摸到红球的概率是 　 　；
（2）如果袋中原有红球12个，求袋中原有几个球？
（3）又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．
20．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
21．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线．求证：∠CDA＝∠CBD．

22．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≡△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求△AMN的周长．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等腰直角三角形，求a的值；
（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，求a的取值范围．

参考答案
一．选择题（共6小题，满分18分）
1．解：A、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
B、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．解：根据题意得：
Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣6）
＝4+24
＝28，
故选：D．
3．解：∵在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AB′C′，
∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB＝80°，AC＝AC′，
∴∠AC′C＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C＝10°，
故选：A．
4．解：∵∠AOB＝68°，
∴∠APB＝∠AOB＝34°，
故选：B．
5．解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
6．解：由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象没有经过（﹣1，0），（5，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根不是x1＝﹣1，x2＝5，故①错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∵抛物线与y轴交于原点上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确；
∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
由图可知，当x＝﹣2时，点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
∴正确的有②③，共2个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分）
7．解：设袋子中白球有x个，
根据题意，得：＝，
解得x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即袋中白球有6个，
故答案为：6．
8．解：设该公司利润月平均增长率为x，根据题意可列方程500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．
9．解：根据题意得：Δ＝25﹣4a≥0，
解得：a≤，
x1+x2＝5，x1x2＝a，
x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝25﹣2a
＝13，
解得：a＝6（符合题意）．
故答案为：6．
10．解：∵圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比为1：2：3，
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
根据圆内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝x+3x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠C＝3x＝135°．
故答案为：135°．
11．解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2018A2019B2019的顶点A2019的横坐标是：4×1009+1＝4037，纵坐标是：，
故答案为：（4037，）．
12．解：①AE＝AC，
∵AE＝10，
∴AC＝10；
②EA＝EC，
AC＝10；
③CE＝CA，
AC＝．
综上所述，当△AEC为等腰三角形时AC的长为10或10或．
故答案为：10或10或．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，Δ＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
14．解：（1）当⊙O与边BC相切于点T时，如图1，连接OT，则OT⊥BC，OA＝OT，
在Rt△OBT中，∠B＝60°，OB＝1﹣OA，
∴OA＝2﹣3，
答：当OA＝2﹣3时，⊙O与边BC相切；
（2）△AEF是等边三角形，理由如下：
如图2，连接OE，
∵EF是⊙O的切线，E为切点，
∴OE⊥EF，
即∠OEG＝90°＝∠OEB+∠BEG，
∵∠B＝60°，OE＝OB，
∴∠BEG＝90°﹣60°＝30°＝∠CEF，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠C＝180°﹣60°＝120°，AB＝BC＝CD＝AD，
在△CEF中，
∵∠CFE＝180°﹣120°﹣30°＝30°＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴CD﹣CF＝BC﹣CE，
即DF＝BE，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形．

15．解：（1）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号相同的结果有4种，
∴两次摸出的球的标号相同的概率为＝；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号的和等于4的结果有3种，
∴两次摸出的球的标号的和等于4的概率为．
16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）顶点D的坐标为：
D1（1，1）或D2（﹣3，﹣1）或D3（﹣5，3）．
故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．
17．解：（1）如图①中，连接PA，PA就是∠P的平分线．
理由：∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APB＝∠APC；

（2）如图②中，连接AO并延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠P的平分线．
理由：∵AB＝AC，
∴＝，
∴＝，
∴∠EPB＝∠EPC．
18．解：（1）设每个电子产品的价格应该降价x元，由题意得：
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6
∴每个电子产品的价格应该降价4元或6元．
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，
该商场应该将该电子产品可以降价6元销售：
（60﹣6）÷60＝0.9
∴该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售．
（3）设定价为x元，商场每天销售该电子产品的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣40）[100+（60﹣x）×10]
＝（x﹣40）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∵二次项系数为﹣10＜0
∴当x＝55时，w有最大值，最大值为2250元．
19．解：（1）∵经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在，
∴估计摸到红球的概率是，
故答案为：；
（2）设袋子中原有m个球，
根据题意，得＝，
解得m＝30，
经检验m＝30是分式方程的解，
答：袋中原有30个球；
（3）根据题意得：＝，
解得：n＝6，
经检验n＝6是分式方程的解，
所以n＝6．
20．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0），
∴y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，y0取得最小值，此时y0＝﹣2，如图1，
∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）如图2，y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，

当y＝2时，（x﹣m）2﹣2＝2，
∴x﹣m＝±2，
∴x＝m±2，
∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），
∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；
∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

21．证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠BDO＝90°，
∴∠ADO+∠CBD＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDA＝∠CBD．

22．（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）；
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6，
在Rt△ADN中，AN＝＝＝2，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，
∴AM+AN+MN＝3+2+5，
即△AMN的周长是3+2+5．
23．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）依照题意，画出图形，如图1所示．
当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．
∵a＞0，
∴﹣a＜0．
设对称轴交x轴于D，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴点C的坐标为（2，﹣1），
∴﹣a＝﹣1，
∴a＝1；
（3）分两种情况考虑，如图2所示：
①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，
解得：a≥；
②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，
解得：a≤﹣．
综上，a≥或a≤﹣．