河南省郑州市第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年河南省郑州二中九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一个几何体如图所示，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

3. 如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中正确的是(    )

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

5. 如图，，与相交于点，且，，，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

6. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为米．(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图．在正方形中，点在对角线上，，，，分别为垂足，连接，，则下列命题：若，则：若正方形边长为，则的最小值为：若，则，其中正确的命题是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 一元二次方程的根是______．
12. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是______个．
13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点到端点的距离是______．
     
14. 如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点点不与、重合，若以、、为顶点的三角形与相似，则线段______．
15. 如图，矩形中，，，点在边上，把沿翻折后，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，．
    若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；
    为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下表单位：吨：

试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．

18. 本小题分
    如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，，则四边形的面积______．
    若，则______时，四边形是正方形．

19. 本小题分
    如图，，，，，，点在上移动，以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．

20. 本小题分
    某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上如图已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．

21. 本小题分
    如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为．
    求值；
    直接写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．

22. 本小题分
    西瓜经营户以元千克的价格购入一批小型西瓜，以元千克的价格出售，每天可以售出千克，为了促销减少库存，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价元千克，每天可多售出千克，该经销户想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
23. 本小题分
    如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
    问题发现
    当时，______；
    当时，______；
    拓展探究
    试判断当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明；
    问题解决
    当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，求线段的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：．
根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可．
本题考查简单几何体的左视图，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可得，
摇奖人中一等奖的概率是：，
故选：．
根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．
本题主要考查概率问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：．
利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
直接根据平行线分线段成比例定理求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于点，则，
设米，由得，，
四边形是矩形，
，
∽，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：．
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：延长交于，

四边形为正方形，
，，，，
，
，
，
，
，四边形为矩形，
，，
，，四边形为正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
若，则，故正确；
当时，有最小值，此时为的中点，
，
，
，
，
的最小值为，故错误；
若，则，
≌，
，
，
，
，故正确；
故选：．
延长交于，利用证明≌，可得，即可判定；当时，有最小值，此时为的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得的最小值，进而求得的最小值，进而可判定；由可证得，利用平行线的判定可证明的正确性
本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用，证明≌是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在反比例函数图象图象上，，
，
对于反比例函数，在第四象限，随的增大而增大，
，
，

故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为，方程有一个实数根；当时，方程有实数根，则，然后求出两种情况下的取值范围．
【解答】
解：当时，方程化为，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，且，
，
连接，
由勾股定理得：，
由旋转得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，，，，
发现是次一循环，所以余，
点的坐标为
故选：．
根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

11.【答案】， 

【解析】解：方程变形得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
个，
即袋子中白球的个数最有可能是个，
故答案为：．
根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．
 

13.【答案】 

【解析】解：点是靠近点的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案．
此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
 

14.【答案】或 

【解析】解：中，，，，
，
是边的中点，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
或，
若，则，
，
，
则；
若，则∽，
，
即，
．
综上所述：或．
故答案为：或．
由中，，，，是边的中点，即可求得与的值，又由以、、为顶点的三角形与相似，可得或，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用．
 

15.【答案】或 

【解析】

【解答】
解：如图中，当时，作于交于．

易知，在中，，
由折叠的性质得，
，，
，
又，
∽，
可得：，
，
，
四边形是矩形，
，
；
如图中，当时，点在上，此时四边形是正方形，．

综上所述，满足条件的的值为或．
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
本题考查矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题型．  

16.【答案】解：，
，即，
则，
，；
，
，
，
则或，
解得，． 

【解析】两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可；
移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示：
小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱；共有种情况，
其中投放正确的有种情况，
；
，
估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为． 

【解析】首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案；
根据题意得出“厨余垃圾”投放正确的概率，即可得出结果．
本题考查的是概率公式以及利用频率估计概率；用到的知识点为：概率所求情况数：总情况数．
 

18.【答案】证明：点是中点，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
是等腰底边上的高，
，
四边形是矩形；
解：； 
 ． 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
根据得出，则由可判定≌，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，根据垂直推出，根据矩形的判定得出即可；
求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．
利用等腰三角形的性质和正方形的性质解答即可．
【解答】
见答案；
是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
当，时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
矩形是正方形；
故答案为；．  

19.【答案】解：设，则，
于，于，
，
当时，∽，即，
解得
；
当时，∽，即，
整理得，
解得，，
，，
当为或或时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．
故答案为：或或． 

【解析】设，则，根据垂直的定义得到，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，∽，则；当时，∽，即；然后分别解方程求出即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似
 

20.【答案】解：过点作于点，交于点，

由题意得，，，
，
∽，
，
，
，
米，
城楼的高度为米． 

【解析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
本题考查相似三角形的应用．
 

21.【答案】解：由，得；则；
由图象可得在两个交点的左边，一次函数的值小于反比例函数的值，
或． 

【解析】把点的横坐标代入正比例函数解析式即可求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求得；
看在交点的哪一侧，相同的自变量，反比例函数的函数值大于正比例函数的函数值即可；
用到的知识点为：点在函数解析式上，就适合这个函数解析式；正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；看相同的自变量，不同的函数值的比较，应从交点入手思考．
 

22.【答案】解：设应将每千克小型西瓜的售价降元，则每天的销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
为了促销减少库存，
．
答：应将每千克小型西瓜的售价降元． 

【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降元，则每天的销售量为千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解： ；
；

当时，的大小没有变化，如图，
，，
，
又，
，
；
如图中，当点在的延长线上时，

在中，，，
，
，
，
，

如图中，当点在线段上时，

在中，，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或． 

【解析】解：当时，
中，，
，
点、分别是边、的中点，
，，
；
故答案为：；
如图中，

当时，
可得，
，
．
故答案为：；
见答案；
见答案．
当时，在中，由勾股定理，可求的长；然后根据点、分别是边、的中点，分别求出、的大小，即可求出的值；
时，可得，然后由平行线分线段成比例得，可求的值；
首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解；
分两种情形：如图中，当点在的延长线上时如图中，当点在线段上时，分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．