人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时教案

第十七章　勾股定理

17.1　勾股定理

第1课时　勾股定理的认识

教学目标

【知识与技能】

1.了解勾股定理的发现过程,会用面积法、拼图法证明勾股定理;

2.理解并能够说出勾股定理,能应用勾股定理解决相关的问题.

【过程与方法】

经历观察—归纳—猜想—验证勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法.

【情感、态度与价值观】

通过对勾股定理背景知识的了解,感受丰富的数学文化,激发民族自豪感;在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识、探索精神和创新意识.

教学重难点

【教学重点】

勾股定理的证明与运用.

【教学难点】

用面积及拼图的方法证明勾股定理.

教学过程

一、情境导入

2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会,下图就是当时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗?你知道它的背景吗?你知道为什么会用它作为会徽吗?

二、合作探究

探究点1　勾股定理的验证

典例1　中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:

(1)试说明a2+b2=c2;

(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.

[解析]　(1)∵大正方形的面积为c2,直角三角形的面积为ab,小正方形的面积为(b-a)2,

∴c2=4×ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即a2+b2=c2.

(2)由图可知(b-a)2=2,4×ab=10-2=8,∴2ab=8,

∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.

变式训练　勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,请你利用图1或图2证明勾股定理a2+b2=c2.(其中∠DAB=90°)

图1图2

[解析]　利用图1进行证明:

∵∠DAB=90°,点C,A,E在一条直线上,BC∥DE,∴CE=a+b,

∴S四边形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE=ab+c2+ab=ab+c2.

又∵S四边形BCED=(a+b)2=ab+(a2+b2),

∴ab+c2=ab+(a2+b2),

∴a2+b2=c2.

利用图2进行证明:

如图,连接BD,过点D作BC边上的高DF,交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,

∴S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.

又∵S四边形ADCB=S△ABD+S△DCB=c2+a(b-a),

∴b2+ab=c2+a(b-a),

∴a2+b2=c2.

探究点2　勾股定理

典例2　(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,求AB的长.

(2)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=5,BC=6,求AC的长.

(3)在Rt△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,c∶a=3∶4,b=15,求a,c及斜边上的高线h.

[解析]　(1)AB=10.

(2)AC=.

(3)如图所示.

∵c∶a=3∶4,∴不妨设a=4k,c=3k.

∵Rt△ABC中,∠B=90°,

∴a2+c2=b2,∴(4k)2+(3k)2=152,

解得k2=9,k=3(负值舍去),

∴a=4k=12,c=3k=9.

∵∠ABC=90°,h是斜边上的高线,

∴ac=bh,

∴h=,

∴a=12,c=9,h=.

三、板书设计

勾股定理的认识

1.定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,即a2+b2=c2(c为斜边)

2.证明:图形拼接利用面积验证

3.应用:已知直角三角形的两边长求第三边的长

教学反思

通过本课时的教学要让学生初步理解并掌握勾股定理,知道勾股定理运用的前提是直角三角形,同时通过面积法验证勾股定理的正确性.验证时要求学生在小组进行交流,再请学生做小老师到讲台讲解,以培养学生的语言表达能力,教师对学生的讲解进行点评,并给予鼓励,增强学生学好数学的信心,让学生体验成功的快乐.

通过介绍勾股定理产生的背景,让学生了解中国古代的数学文化,激发民族自豪感,培养探索精神和创新意识.