2023届江西省上高二中高三上学期第二次月考数学（文）试题含解析

2023届江西省上高二中高三上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合B,根据集合的交集运算求得答案.

【详解】因为 ，所以,

故选：B

2．复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】根据复数的除法运算，求得复数，然后找出其在复平面内对应的点即可.

【详解】因为，故可得：

故其在复平面对应的点的坐标为

容易知，其在第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数在复平面内对应的点的求解，属基础题.

3．已知，则“ ”是“ ”的 （    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义解题即可.

【详解】因为，所以当，x可以是锐角也可以时钝角，所以，所以不满足充分性；

当时，x必为锐角，所以成立，必要性满足

故选：B

4．若实数，且a，b同号，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过举反例判断A，B，根据不等式的性质，指数函数的性质判断C，D即可.

【详解】取，可得，，A错，

取，可得，，B错，

因为指数函数在上为增函数，又，所以，C错，

因为幂函数在上为增函数，又，所以，D错，

故选：D.

5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及对数函数的单调性即可解出．

【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．

故选：D．

6．已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.

【详解】解：令，得，

在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：若有4个零点，

则实数a的取值范围是，

故选：A

7．已知等差数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，

则

，

即，解得.

又，解得.

所以，

故选：B

8．已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性求出的范围，即可解出．

【详解】由可得，，，，

由于，， ，而

，，所以，所以．

故选：D．

9．甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将 代入关于x的方程解出 即可

【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b，

所以和是方程的两根，所以，

乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，

则可得方程，解得，

所以原方程的根是或

故选：D

10．在中，，，的角平分线的长为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在中，利用正弦定理可求得，利用三角形内角和可求得，从而确定，在中利用正弦定理可得结果.

【详解】

在中，由正弦定理得：，即，

又，，，

，则，，

，

在中，由正弦定理得：，.

故选：C.

11．三棱锥A-BCD的四个顶点都在体积为的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，，则平面BCD被球O截得的截面面积为(    )

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】分别找出△BCD和△ABC的外接圆圆心F和H，通过过F作平面BCD的垂线，过H作平面ABC的垂线，两垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球球心O，再通过几何关系求出△BCD外接圆半径，即可求其被球O截得的圆的面积．

【详解】如图，

设BC中点为E，∵点A在平面BCD的射影是线段BC的中点E，

∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形．

取AC中点为G，连接BG交AE于H，则H是△ABC外心．

连接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，则F为△BCD外心．

过F作平面BCD的垂线，过H作平面ABC的垂线，两垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球球心O，则四边形OHEF是矩形，OF=HE=．

连接OB，BF，设△BCD外接圆半径FD=BF=r，设球O半径为OB=R．

∵球O的体积为，∴．

∴在Rt△OBF中，r=BF=，

∴平面BCD被球O截得的截面面积．

故选：B．

12．已知a，，满足，则下列错误的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式可判断A;判断a，，将化为,构造函数，利用导数判断B; 当时，，可判断C;利用柯西不等式判断D.

【详解】A，由，得，当时等号成立，正确；

B，,故，故a，，

由，得且a，，

令且，则，递减，

所以，，即成立，正确；

C，当时，，错误；

D，，当且仅当时等号成立，正确，

故选：C

二、填空题

13．已知向量，，若，则___________.

【答案】

【分析】根据平面向量的坐标运算求出，结合垂直向量的坐标表示计算即可.

【详解】因为，，

所以，又，

则，解得.

故答案为：.

14．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是__________．

【答案】

【分析】根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义，确定取得最值的点，求出该点，计算即可.

【详解】

如图，阴影部分为可行域，

由目标函数的几何意义为直线的横截距，

可得当直线过两个约束函数的交点时取最小，

由可得：，

所以最小值，

故答案为：

15．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】9

【分析】由得，则，展开利用基本不等式可求得最值.

【详解】由得，所以，

当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9.

故答案为：9

16．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，以O为圆心为半径的圆与双曲线C交于P.Q两点（P、Q均在x轴的上方）.若，则C的离心率为______.

【答案】

【分析】设在左支上，在右支上，根据题意可得四边形为菱形，可得，结合双曲线定义可得离心率的值.

【详解】设在左支上，在右支上，

根据题意，可得，且与轴平行，

所以四边形为菱形，且，所以，

所以，设其左焦点为，则，

所以在双曲线中，，

所以其离心率，

故答案为：

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分，，三种情况，分类讨论求解.

（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出的最小值，结合（1）分情况讨论，解不等式即可.

【详解】(1)解：当时，；

当时，；

当时，，所以 ，

综上函数的值域为

(2)因为，，当且仅当，即时等号成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知当时，不合题意；当时，恒成立；当时，，解得，综上，所以x的取值范围为.

18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)已知点，直线l与曲线C交于点A、B，弦AB的中点为Q，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消参求出曲线C的普通方程即可，利用极坐标方程化直角坐标方程得到直线l的直角坐标方程；

（2）写出直线l的参数方程，联立曲线C，得到t1+t2,t1t2即可求解.

【详解】(1)解：由消去参数，得曲线C的普通方程为．

由得，，

将代入上式得，

∴直线l的直角坐标方程为；

(2)解：∵点在直线上，∴直线l的参数方程可为（t为参数）①，

将①式代入曲线，得，

设点A、B对应的参数分别为、，则，

∴.

19．2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互监的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声某机构为调查观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），随机电话调查了1000名市民，根据样本数据绘制成如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的平均数（每组数据以其中点值代表）；

(2)采用分层抽样方法，从观看时长在内的市民中抽取6人，若从这6人中再随机抽取2人参加座谈，求这2人观看时长均在内的概率.

【答案】(1)，平均数为

(2)

【分析】（1）由频率和为1可得a的值，利用直方图中的平均数公式进行计算即可.

（2）采用分层抽样的方法得到观看时长在和内应抽取人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】(1)由题意得，解得.

所以各组的频率分别为0.04，0.08，0.16，0.22，0.26，0.16，0.08，

所以样本数据的平均数的估计值

(2)由题意知，观看时长､对应的频率分别为0.16和0.08，

所以采用分层抽样的方法在观看时长在内的应抽取4人，

分别记作a，b，c，d，观看时长在的应抽取2人，分别记作A，B.

从这6人中随机抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15个.

其中均来自内的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个基本事件.

故所求概率.

20．如图，在四边形中，.

(1)求的长；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式求解的余弦值，利用余弦定理即可求解的长；

（2）利用正弦定理求得的长，利用三角形内角和为求解的正弦值，最后利用三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)解：因为，

所以

由余弦定理得：，

所以.

(2)由正弦定理得，

所以，

故，，

则为锐角，，

所以

，

所以的面积为.

21．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，，，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）取的中点，证明平面，然后利用棱锥的体积公式求解即可.

【详解】(1)证明：设与交于点，连接，则为和的中点.

因为四边形是菱形，所以，

由，，所以，

又，，平面，所以平面.

(2)取的中点，因为，，，

所以，

所以，，

由（1）知平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面.

菱形ABCD的面积，

所以四棱锥的体积为.

由E为PC的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥体积的一半，而三棱锥的体积为四棱锥体积的一半，

故三棱锥的体积为.

22．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值；

(2).

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）由题可得对任意恒成立，构造函数，利用导函数求函数的最值即得.

【详解】(1)由题可得，

由，可得，

∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值．

(2)由题得，

所以对任意恒成立，

令，

则，

令，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

所以，

所以，

即实数a的取值范围是．