苏科版九年级数学上学期期末复习专题 二次函数的图形与性质大题专练

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二次函数的图形与性质大题专练（培优强化30题）
一、解答题
1．（2022·江苏·九年级阶段练习）已知二次函数y=−12x2−2x+3．
(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；
(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；
(3)当−3＜x＜0时，直接写出y的取值范围
2．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，抛物线y=x2+x−2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

(1)结合函数图像，当−2”，“0，将此抛物线向上平移c个单位（c>0），此时与x轴交于点c,0，若当00
∴ac2−bc+c=0

即b=ac+1
又∵当00
∴b≥2ac

则ac+1≥2ac
∴ac≤1
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象旋转、平移时改变位置，而a的绝对值不变是解题的关键．
21．（2022·浙江·杭州启正中学九年级期中）已知二次函数y=14(x−2m)2+3−4m（m是实数）．
(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点Pa−5,t，Q4m+3+a,t都在该二次函数图象上，求证：t≥7．
【答案】(1)小明的说法正确，理由见解析
(2)见解析

【分析】（1）设二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为x,y，由二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为2m,3−4m，可得x=2m①y=3−4m②，通过消去m，得到y=3−2x，从而证明了小明的说法正确；（2）由点Pa−5,t，Q4m+3+a,t都在该二次函数图象上，且两点的纵坐标相等，结合二次函数图象的对称性，可得xP+xQ2=2m，整理得，a=1，P−4,t，将点P−4,t代入二次函数y=14(x−2m)2+3−4m中，有t=14(−4−2m)2+3−4m=m2+7，从而证得，t=m2+7≥7．
【详解】（1）解：小明的说法正确，理由如下，
设二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为x,y，
∵二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的顶点坐标为2m,3−4m，
∴x=2m①y=3−4m②，
由①得，m=x2③，
将③代入②中，可得，y=3−4x2，
整理可得，y=3−2x，
∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=3−2x上运动，小明的说法正确．
（2）证明：∵点Pa−5,t，Q4m+3+a,t都在该二次函数图象上，
又∵点Pa−5,t，Q4m+3+a,t的纵坐标相等，
二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的对称轴为直线x=2m，
∴xP+xQ2=2m，
即a−5+4m+3+a2=2m，
整理得，a=1，
∴点P−4,t，Q4m+4,t，
∵点P−4,t在二次函数y=14(x−2m)2+3−4m的图象上，
∴t=14(−4−2m)2+3−4m=m2+7，
∴t=m2+7≥7．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y=x+1，其“青一点”为1,2．
(1)①判断：函数y=2x+3 　 　“青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=8x的图像上的青一点是 　 　；
(2)若抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“青一点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=x2+m−k+2x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)①不是，②2,4或−2,−4
(2)m0即可求出m的取值范围；
（3）设青一点坐标为x,2x，代入函数得到一元二次方程，然后令Δ=0，得到n关于m的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与m的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得n最小值构成关于未知数k的方程，然后分别解方程即可．
【详解】（1）解：①假设函数y=2x+3是青一函数，设青一点横坐标为a，纵坐标为2a，代入y=2x+3，得
2a=2a+3
此方程无解，故函数y=2x+3不是青一函数，
故答案为：不是
②设函数y=8x的图像上的青一点是n,2n，代入y=8x得
2n=8n
解方程得n=±2
故答案为：2,4或−2,−4
（2）解：设抛物线y=m−1x2+mx+14m（m≠1），青一点的坐标为x,2x，
则2x=m−1x2+mx+14m
整理得m−1x2+m−2x+14m=0
∵有两个青一点
∴Δ=m−22−4×14m×m−1>0
解不等式得：m