2022-2023学年第一学期宝安中学（集团）高二数学期中考试数学试卷及参考答案

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参考答案：1．D2．B3．A4．C5．B由菱形两组对边之间距离相等，求解（注意：普通平行四边形并不一定有此性质）直线和之间距离为：，和之间距离为：，于是有：.6．C【分析】连接，由，即可求出答案.【详解】连接如下图：由于是的中点，.根据题意知..故选：C.7．A【详解】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系，由二面角的平面角大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段，设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，，易知平面APD的一个法向量为，设平面PDG的法向量为，则，即，令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，则二面角的平面角的余弦值为，解得或（舍去），所以Q在DG上运动，所以面积的最大值为．8．C【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围.【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为所以，.设，则.所以.令，则，因为，所以.故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.9．AD【详解】∵，，∴，则，∴直线与垂直，故A正确；，，则，则，∴或，故B错误；∵，，∴与不共线，∴不成立，故C错误；∵点，，，∴，.∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.10．ACD【解析】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，利用圆心到直线的距离为半径，即得解【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径 或故直线的方程为：故选：ACD【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系和直线的截距，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于中档题 11．BD【详解】A，该直线与圆相离对于B，两圆相内切，解得，所以B正确，对于C，两圆外离，无交线。所以C不正确，对于D，设，则，以为直径的圆的方程为，即，与圆作差得，消去，得，令且，得，所以直线经过定点，故D正确12．ABC【分析】对于A，先四边形ABCD中，利用已知条件结正弦定理求出的长，过作于，则可求出，从而可求出三棱锥的体积，对于B，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设为的外心，三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则，从而可求出，进而可得三棱锥的外接球的表面积，对于C，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，从而可求得结果，对于D，如图建立空间直角坐标，利用空间向量求解即可【详解】过作于，在中，因为，所以，，由正弦定理得,即，解得，所以，，因为,所以，由正弦定理得，即，解得，所以，因为平面平面ADC，平面平面，，所以平面ADC，所以三棱锥的体积为，所以A正确，设为的外心，外接圆半径为，由余弦定理得所以，由正弦定理得，所以，取的中点，连接，则，，设三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则，即，解得，，所以三棱锥外接球的表面积为，所以B正确，过作于，连接，因为平面ADC，平面ADC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，所以C正确，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，过作于，则，，则所以设异面直线AC与所成角为，则，所以D错误，故选：ABC13.14．【解析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，.15．【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量是，，∴由，可得取得，，∴到平面的距离.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题. 16．易知，解得， 17．（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：.. 18．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，即，从而证明出线面平行；（2）再第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角的余弦值.（1）因为是底面为正方形的长方体，所以两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，因为，，P的的中点．所以，，故，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，其中，所以，平面，则直线平面；（2），，则，故异面直线与所成角的余弦值为.  19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．  21．(1)；(2)（1）设圆的标准方程为，因为圆经过，，圆心在上，所以有，即圆的标准方程；（2）四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成， 的面积为5，即，又，， ，动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，即点P在圆 又点P在圆 上，圆E与圆有公共点．，即，解得 ．实数m的取值范围为  22．(1)；(2)存在，或．（1）由已知，设，则，平方整理得：，即，所以点P的轨迹方程是．（2）由题意知：直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，且，，则，联立方程：，则，∴，显然直线l不过点，则．∵点到直线l的距离，，∴，∵，，∴当时取得最大值2，此时，∵直线l得方程为或．