广东省广州市海珠区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

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广东省广州市海珠区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2015八上·黄冈期末）要使分式 3x−1 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
2．（2021八上·海珠期末）用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（　　）
A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056
3．（2021八上·海珠期末）已知一个正多边形的每个外角等于45°，则这个正多边形是(　　)
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
4．（2021八上·海珠期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
5．（2021八上·海珠期末）如图，已知∠1＝∠2，要得到结论△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（　　）

A．BC＝DC B．∠ACB＝∠ACD
C．AB＝AD D．∠B＝∠D
6．（2021八上·海珠期末）已知2x＝5，则2x+3的值是（　　）
A．8 B．15 C．40 D．125
7．（2021八上·海珠期末）若mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．6
8．（2021八上·海珠期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（　　）

A．12(β−a) B．180°−12a−12β
C．90°+12β−12a D．90°+12a−12β
9．（2021八上·海珠期末）如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
10．（2021八上·海珠期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　）

A．240° B．360° C．540° D．720°
二、填空题
11．（2020八上·商城月考）计算： (π−3.14)0=　 　.
12．（2021八上·海珠期末）已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为　 　．
13．（2021八上·海珠期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为　 　．

14．（2021八上·海珠期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为　 　．

15．（2021八上·海珠期末）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．（2021八上·海珠期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 　 　．

三、解答题
17．（2021八上·海珠期末）计算：
（1）(25m2−15m3n)÷5m2
（2）8a2⋅(a4−1)−(2a2)3
18．（2021八上·海珠期末）已知：如图，AE∥FD，AE＝FD，EB＝CF．求证：△ACE≅△DBF．

19．（2021八上·海珠期末）先化简，再求值：aa+1+3a+1a2−1，其中a＝2021．
20．（2021八上·海珠期末）列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度．
21．（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．

22．（2021八上·海珠期末）如图，在边长为单位1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点A和点B分别在网格的格点上．

（1）分解因式2a2﹣18；
（2）若2a2﹣18＝0，且点A(a，2)在第二象限，点B(a+5，﹣1)在第四象限，请求出点A和点B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3）在（2）的条件下，已知点A'(a，﹣4)是点A关于直线l的对称点，点C在直线l上，且△ABC的面积为6，直接写出点C的坐标．
23．（2021八上·海珠期末）已知△ABC中，∠B＝12∠C＝α．

（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使△ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使△ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
24．（2021八上·海珠期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx﹣（a+b），所以关于x的方程x+abx＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝　 　，x2＝　 　；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
25．（2021八上·海珠期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝13∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．

（1）直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝12PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当△DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．

答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056．
故答案为：A．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，
则这个多边形是正八边形.
故答案为：D.

【分析】根据正多边形的边数等于外角和除以一个外角的度数可得答案。
4．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，故A不符合题意；
B．-7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D.2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故D符合题意；
故答案为：D．

【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为乘积的形式逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：AC=AC ，∠1＝∠2，
A、当BC＝DC时，是边边角，不能得到结论△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
B、当∠ACB＝∠ACD时，是角边角，能得到结论△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C、当AB＝AD时，是边角边，能得到结论△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠D时，是角角边，能得到结论△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵2x＝5，
∴2x+3==2x⋅23=5×8=40
故答案为：C

【分析】利用同底数幂的乘法可得2x+3=2x×23，再将2x＝5代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（mx+6y）×（x-3y）=mx2-（3m﹣6）xy﹣18y2，且积中不含xy项，
∴3m﹣6=0，
解得：m=2．
故答案为：B．

【分析】根据多项式乘多项式的计算方法可得mx2-（3m﹣6）xy﹣18y2，再根据“积中不含xy项”可得3m﹣6=0，求出m的值即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC．
∵∠BAC=180°−∠B−∠C，
∴∠BAD=12(180°−∠B−∠C)=90°−12∠B−12∠C．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠B+90°−12∠B−12∠C=90°+12∠B−12∠C．
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠ADC=90°+12∠α−12∠β．
故答案为：D．

【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和即可得解。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∴∠EDC=60°．
故答案为：C．

【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠ADE=60°，AB=AD，再利用等边对等角的性质可得∠ADB=∠B=60°，最后利用角的运算可得∠EDC=60°。
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，

在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D=360°，
∵∠CMN=∠A+∠E，∠MND=∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：B．

【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解。
11．【答案】1
【知识点】0指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为 π−3.14≠0 ，所以 (π−3.14)0=1 .
故答案为：1.
【分析】根据a0=1(a≠0)进行解答即可.
12．【答案】(1，2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，
∴点A的坐标为(1，2)
故答案为：(1，2)

【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数可得答案。
13．【答案】9
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=12BC=3，
∴AD+BD=3CD=9，
故答案为：9．

【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2CD，再利用中线的性质可得BD=CD=12BC=3，最后利用线段的和差可得AD+BD=3CD=9。
14．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，

∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2，
故答案为：2．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD＝2，再利用角平分线的性质可得DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2。
15．【答案】2m2
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，

图中阴影部分的面积为12×2m×(m+2m)−m2=2m2
故答案为：2m2

【分析】利用割补法列出算式求解即可。
16．【答案】2＜CD＜7
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，
即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，

∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
CD=ED∠CDB=∠EDABD=AD，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，
∴b−a2＜CD＜a+b2，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．

【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a、b的值，利用三角形全等的性质证出△BCD≌△AED（SAS），得出AE＝BC＝a，即可求出CD的取值范围。
17．【答案】（1）解：(25m2−15m3n)÷5m2
=25m2÷5m2−15m3n÷5m2
=5−3mn
（2）解：8a2⋅(a4−1)−(2a2)3
=8a2⋅a4−8a2−23(a2)3
=8a6−8a2−8a6
=−8a2
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可；
（2）利用单项式乘多项式、积的乘方和幂的乘方化简，再合并同类项即可。
18．【答案】证明：∵EB＝CF
∴EB+BC＝CF+BC
∴EC=FB
∵AE//FD
∴∠E＝∠F
在△ACE与△DBF中
AE=FD∠E=∠FEC=FB
∴△ACE≅△DBF
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明∠E＝∠F，再利用“SAS”证明△ACE≅△DBF即可。
19．【答案】解：aa+1+3a+1a2−1
=a(a−1)(a+1)(a−1)+3a+1(a+1)(a−1)
=a2−a+3a+1(a+1)(a−1)
=a2+2a+1(a+1)(a−1)
=(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a−1；
当a=2021时，原式=2021+12021−1=20222020=10111010
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
20．【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，
根据题意得：8x−14=82x，
方程两边都乘以4x得：32−x=16，
解得x=16，
经检验得x=16是原方程的根，且符合题意，
答：骑车学生的速度16㎞/h．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，根据题意列出方程8x−14=82x求解即可。
21．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
CD=CECM=CN，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
22．【答案】（1）解：2a2﹣18=2(a2−9)=2(a+3)(a−3)；
（2）解：2a2﹣18＝0，
2(a+3)(a−3)=0
a+3=0，a−3=0
解得：a1=-3，a2=3
∵点A(a，2)在第二象限，
∴a=-3，
∴点A（-3，2），
点B(a+5，﹣1)在第四象限，
∴当a=-3，a+5=-3+5=2，点B（2，-1），
建立平面直角坐标系如图所示；

（3）点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：(3)

∵点A（-3，2），A′（-3，-4），
∴AA′∥y轴，
∴AA′的垂直平分线为y=-1，
∴直线l为y=-1，
∵点C在直线l上，设点C坐标为（m，-1）
当点C在点B左边，
∵△ABC的面积为6，
∴12×3×(2−m)=6
解得m=−2，点C（-2，-1）
当点C在点B的右边，
∴12×3×(m−2)=6
解得m=6，点C（6，-1）
∴点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．

【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解；
（2）先求出a，再画出直角坐标系；
（3）根据面积求出点C的坐标即可。
23．【答案】（1）解：①如图，射线AD即为所求

②作线段AC的垂直平分线，交AD于点P，连接PC，则△APC即为所求；
∵∠B=12∠C=α
∴∠C=2α
∴∠EAC=∠B+∠ACB=3α
又∵PA=PC，AD平分∠EAC
∴∠PAC=∠PCA=32α
∴∠APC=180°−3α
（2）90°−34α或32α
【知识点】三角形内角和定理；作图-三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：(2)存在，当AP=AC时，∠APC=∠ACP=12(180°−32α)=90°−34α
当CP=CA时，∠APC=∠CAP=32α
综上所述，∠APC的值为90°−34α或32α

【分析】（1）①利用尺规作图即可；②作线段AC的垂直平分线，交AD于点P，连接PC，则△APC即为所求；
（2）分两种情况：当AP=AC时，当CP=CA时，分别求解即可。
24．【答案】（1）3；23
（2）解：∵x+3x=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）解：4x−1=k-x可化为x-1+4x−1=k-1，
∵方程4x−1=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
【知识点】代数式求值；解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵x+abx=a+b的解为x1=a，x2=b，
(x2+2)x=x+2x=3+23的解为x=3或x=23，
故答案为：3，23；

【分析】（1）根据题意即可得出x的值；
（2）由题意得出a+b=5，ab=3，再利用完全平方公式即可得解；
（3）方程变形为：x-1+4x−1=k-1，则得出x-1=t或x-1=t2+1，则t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，整理得出k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为k2-4k+2t3，求解即可。
25．【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，

∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴BD=12BH=12PC ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，

∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=12∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB =12 (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝13∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除△ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；

【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。