圆锥曲线中——同构法、蒙日圆、彭色列闭形定理（深度总结）

这是一份圆锥曲线中——同构法、蒙日圆、彭色列闭形定理（深度总结），共42页。试卷主要包含了因此，设切线方程为，即为等内容，欢迎下载使用。
例 (2011大纲卷文)设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离( )．
A．4 B． C．8 D．
答案 选C．
解 易知两个圆都在第一象限，且圆心在直线上，故可设圆的方程为：，
过点：，即，设为此方程的两个根，则的坐标为、，故，故选C．
例 已知经过点的两个圆都与直线、相切，则这两个圆的圆心距等于 ．
答案 ．
解 两条直线的方程互为反函数，图象关于对称，结合图象，可知圆心都在直线上，因此，可以设圆心，，则是关于x的方程，即的两个根，故．
例 已知点P为圆与圆的公共点，圆，
圆，若，，则点P与直线上任意一点M之间的距离的最小值为 ．
解 由于，故可以尝试凑出关于a、c的二次方程，因此，需要先把b、d换掉！
设，，则，，代入可得：，
同理可得：，因此，a、c是方程的两个根，故，即点P的轨迹方程为：，易得．
例 (2015江苏联赛初赛)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆、圆都与直线及x轴正半轴相切，若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线l的方程．
解 由于圆、圆都与直线及x轴正半轴相切，因此，圆心、在直线l和x轴的角平分线上，不妨设此直线为，则．
设圆、圆的半径分别为，则，可以尝试构造关于r的二次方程，然后，利用韦达定理．
易知圆的圆心为，则，即，即，同理可得：．
因此，是方程的两个根，故，即，进而，所以直线l的方程为．
背景 圆、圆是位似圆，设圆、圆与x轴的切点分别为A、B，可以利用平几知识证明得到：，即，即．
练习 已知两圆的圆心在直线上，且两圆均与x轴相切，两圆圆心的横坐标a、b满足．若记两圆交点，且的最大值为10，求k的值．
解 易求得a、b是关于方程的两个根，因此，．
又，故，即，因此，点P的轨迹是圆．
不妨令，则，解得．
类题 如图，圆M和圆N与直线分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若且，则实数k的值为( )．
A．1B．C．D．

解 选D；设圆M、圆N与x轴的切点分别为P、Q，圆M、圆N的半径分别为．
由于，故，即．易知OM、ON分别是∠POA、∠BOQ的角平分线，因此，OM⊥ON，设ON的斜率为m，则，即为，解得．
因此，．
注 也可以利用平几知识，易证得Rt△OPM≌Rt△NQO，则QO＝PM，．
直线的定比分点式方程
直线的定比分点式方程 经过两个不同的定点、的直线的参数方程为：
(为参数，)；
设为P、Q两点所确定的直线上的任意一点，参数的几何意义是动点M分有向线段即向量的定比，即，显然，利用定比分点的知识，可得到：
①当时，M为内分点；②当，且时，M为外分点；③当时，点M与Q重合．
注 实际上，根据定点的个数，我们可以将直线的参数方程分为两种：
①利用一个定点，再利用直线的方向向量，以有向线段为参数的参数方程；
②利用两个定点，再利用定比分点的知识（实质也是向量的共线定理），以定比为参数的参数方程．
因此，直线的定比分点式方程实际上是属于直线的参数方程的一种！！
例 已知点对椭圆的切点弦为AB，过点P的直线l交切点弦AB于Q，交椭圆于R、S，求证：．
证法一 利用直线的参数方程
设直线l为(t为参数)，易知切点弦AB为：，故．
直线l与椭圆方程联立可得：，
则，故得证．
证法二 借助调和点列的背景，即．
设，，，，则，将坐标代入，可得：
…①．
同理，设，则，代入，可得：
…②．
由①②可知：是关于t的二次方程的两个根，故，又点在切点弦AB上，所以，则．
故，即，即，即．
例 (2006山东理)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 过点的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）．当，且时，求Q点的坐标．
答案 (1) ；(2) ．
解 (2) 设，由得：，即，代入双曲线的方程：．
同理，由得：，故是关于的二次方程
的两个根，故，解得，即点Q的坐标为．
注 常规韦达定理方法：，设直线l的方程为：，其中，与双曲线联立：，后略；和上述方法相比，显然繁琐很多．
例 (2007福建文压轴、理)如图，已知点，直线， P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．
(1) 求动点P的轨迹C的方程；
(2) 过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值．
(3)(文)求的最小值．
解 (1) ；(2) ；
法一 设，，，则，又，可得：；同理，由可得：；
故是关于的二次方程的两个根，因此，．
法二 利用平几性质
由已知，，得．则…①
如图，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为、，则有：…②
由①②得：，即．
(3)(文)设直线AB的方程为，则；
直线AB的方程与C联立：，则，，故
，
当且仅当，即时取得等号．
例 已知椭圆的长轴长为4，A、分别为椭圆C的上、下顶点，P为椭圆C上异于A、的动点，直线PA与的斜率之积恒为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于D、E两点，点Q满足：且，当直线l绕着T点转动时，求动点Q的轨迹方程．
答案 (1) ；(2)．
略解 (2)设，，由得：，又D在椭圆C上，故
，
对于，同理得：，故、是关于t的二次方程的两个根，所以，解得．
练习 已知抛物线，直线l不过原点O，且与抛物线相交于P、Q，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1) 设，，证明：；
(2) 设直线OP与直线OQ的斜率分别为、，若，求证：直线l过定点．
解 (1) 设，，，由得：，代入得：
，
同理，由得：，故、是二次方程的两个实根，因此，，，故得证．
(2) 设，，则直线PQ的方程为：…①．
又，即…②，①②对比，显然直线PQ过定点．
双切线问题
参考相应章节的总结．
3 双切线问题(同构法)
利用韦达定理转化
例 (2012湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线的点均在外，且对上任意一点M，M到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
(1) 求曲线的方程；
(2) 设为圆外一点，过P作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A、B和C、D．证明：当P在直线上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值．
解 (1) 法一 设，根据题意可得：，易知上的点位于直线的右侧，于是，故，化简可得的方程为：．
法二 根据题意可知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离．因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线．故其方程为．
(2) 当点P在直线上运动时，点P为，又，则过点P且与圆相切的直线的斜率k存在且不为0．因此，设切线方程为，即为．
于是，整理得：，设过点P的两条切线PA、PC的斜率分别为，则，．
设四点A、B、C、D的纵坐标分别为，
切线PA为：，与联立：，则，同理可得：，
故．
例 (2012湖南文)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线，当直线都与圆C相切时，求P的坐标．
解 (1) ；
(2) 设，直线分别为：、，其中．
由直线与圆C相切可得：，即，同理可得：，因此，是方程
的两个实根，则…①，且…②，
又…③，联立②③解方程组得：或，经检验都满足①式，故点P的坐标为或或或．
例 (2011浙江理)已知抛物线，圆的圆心为点M．
(1) 求点M到抛物线的准线的距离；
(2) 已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程．
解 (1) ；(2)点P的坐标为，直线l的方程为．
法一 通法就是设，设直线方程，利用相切条件，构造关于斜率、的二次方程，再利用韦达定理求解，具体过程此处略．
法二 注意到P、A、B是抛物线上轮换的三点，再结合题目条件，显然，可以利用抛物线的两点式方程＋韦达定理的构造求解．
设，根据题意可知：且，设，，则直线PA的方程为：，又，直线PA和圆M相切：，即
，
对于直线PB，同理可得：，故是二次方程

的两个根，所以．又直线AB的方程为：，故，即，解得，后略．
练习 已知圆和抛物线，O为坐标原点．
(1) 已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M、N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；
(1) 过抛物线E上一点作两直线PQ、PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q、R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标．
答案 (1) ；(2) 或．
练习 (2011浙江文压轴)如图，设P为抛物线上的动点．过点P做圆的两条切线，交直线于A、B两点．
(1) 求的圆心M到抛物线准线的距离．
(2) 是否存在点P，使线段AB被抛物线在点P处的切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案 (1) ；(2) ．
例 (2016盐城一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点是椭圆上一点，从原点O向圆作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为．
(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2) 若，①求证：；②求的最大值．
解 (1) ；(2) ①双切线问题，反转利用韦达定理即可；②可以利用参数方程，或者直接平方变形，求得，故．
例 如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B、D（不同于点A）．当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解 (1) ；(2) 设切线方程为，则，即，设直线AB、AD的斜率分别为，则．此时就转化为常见的问题了，利用点差法的套路即可．
设，，则，即，作差可得：，结合纵截距公式，显然，过定点．
蒙日圆
椭圆 椭圆的两条互相垂直的切线PA、PB的交点P的轨迹是圆，这个圆一般叫作“蒙日圆”，也叫“准圆”，“伴随圆”；
此外，如果过椭圆上一点C作椭圆的切线交蒙日圆于M、N两点，则（假设OM、ON的斜率都存在且不为0）．
证明 常规的证明方法，设出切线，利用等效判别式快速得到关于k的二次方程，再利用韦达定理计算即可，具体的过程可参考如下的例题，此处略．
对于，与蒙日圆方程齐次化联立即可轻松证明，具体过程如下：
设，则切线MN的方程为：，与蒙日圆联立：，即，故
．
不过，在实际考试之时，还是建议使用设线法，即设，结合等效判别式进行齐次化联立求解，因为切线MN的方程是不好求得的！！
注 (1) 对于蒙日圆的证明，也可以利用几何法，借助椭圆的光学性质，如图所示，过右焦点F作两条切线的垂线，垂足分别为M、N，则点M、N在“大圆”上（具体证明参见前面的光学性质专题）．
又四边形FMPN为矩形，因此，利用矩形的性质得：，即．
(2)也可以将斜率乘积关系推广到其他情况，比如或，继续利用韦达定理求解即可．
双曲线 对于双曲线，在的前提下，可得双曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆．
抛物线 抛物线的两条互相垂直的切线的交点轨迹是该抛物线的准线．
例 (2014广东文理)已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
分析 这是一道古董题了，平时如果遇到过基本上就是送分的，但是如果第一次见，还是有一定难度的！注意两点即可：①要注意的斜率的讨论；②利用等效判别式进行计算，即由，可得：，即．
解 (1) ；(2) 设两条切线分别为、，
①当与x轴既不垂直也不平行时，设直线为，与椭圆联立可得：，
由可得：， 故k是方程的一个根， 同理，直线的斜率也是方程的一个根，
因此，，即，其中．
②当⊥x轴或∥x轴时，对应∥x轴或⊥x轴，可知，亦满足．
综上可得，点P的轨迹方程是．
例 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在坐标原点，一条准线方程为，且经过点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若一个矩形的每一条边所在直线与椭圆有且只有一个公共点，则称该矩形为椭圆的外切矩形．
( = 1 \* rman i)求证：椭圆C的所有外切矩形的顶点在一个定圆上；
( = 2 \* rman ii) 求椭圆C的外切矩形面积S的取值范围．
解 (1) ；(2)①若矩形的边与坐标轴不平行，则过顶点的两条边的斜率满足；
设矩形边所在直线的方程为，则由得：，令，可得：．
又，则，即，即，易知是此方程的两个根，因此，，即．
②若矩形的边与坐标轴平行，则四个顶点显然满足．
综上所述，满足条件的所有矩形的顶点在定圆上．
( = 2 \* rman ii) 当矩形的边与坐标轴不平行时，由( = 1 \* rman i)知，令，可得矩形的一组对边所在直线的方程为，即，则另一组对边所在直线的方程为．
由于矩形一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长，故矩形的一条边长为，另一条边长为．因此，，
令，则，于是．
若矩形的边与坐标轴平行，则．故S的取值范围是．
斜率等差
参见极点极线章节．
彭色列闭形定理
彭色列闭形定理：共内切圆的三角形必共外接椭圆．
例 (2009江西文压轴)如图，已知圆是椭圆的内接△ABC的内切圆， 其中A为椭圆的左顶点．
(1) 求圆G的半径r；
(2) 过点作圆G的两条切线交椭圆于E、F两点，证明：直线EF与圆G相切．
解 (1) 法一 直线过点，显然可以轻易求出点B
设直线AB为，与椭圆联立：，故，，
圆G是△ABC的内切圆，则直线AB和AC关于x轴对称，直线BC⊥x轴，故，消去r，整理可得：，故或．
当时，，不成立，故只取，则．
注 如果选择消去，则可得：，这是一个三次方程，而且比较复杂，试根法也不好使，因此，此路不通！最后，借助软件得到：．
法二 由于含有内切圆，也有直角三角形，故可以尝试借助平几性质进行求解
设，过圆心G作GD⊥AB于点D，BC交长轴于点H，则，即，即…①，又点在椭圆上，故…②
由①②可得：，解得或（舍去）．
(2) 设过点与圆G相切的直线为：，则，即，设直线ME、MF的斜率分别为，则，．
直线与椭圆联立：，解得，同理．
故直线EF的斜率为，因此，直线EF的方程为：，即，即，
又，则，因此，直线EF的方程为：，圆心到直线EF的距离为，故直线EF与圆G相切．
注 或者直接得到点、，
然后，利用直线EF的两点式方程，即为，
即，此式看上去复杂，细心点，计算量不大的！整理得：，
代入，，即，即．
例 已知曲线过定点，点P是曲线C上的动点，过点P的圆的切线分别交曲线C于另外两点A、B．
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若，点P为原点，判断直线AB与圆的位置关系；
(3) 对任意的动点P，是否存在实数t，使得直线AB与圆相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解 (1) ；(2) 若，点P为原点，则圆为，设切线为，则，解得，即切线为，与抛物线方程联立，根据对称性，易解得直线AB为，此时，圆心到直线的距离为，因此，直线AB和圆相交．
(3) 探索型的题目，可以先利用特殊值引路：取，圆，设切线为，由，解得…①；切线与抛物线联立，根据对称性，可解得直线AB为．
若直线和圆相切，则…②，由①②解得或（舍去）．因此，对任意的动点P，直线AB和圆相切，必有．
下面继续证明时，对任意的动点P，直线AB和圆相切．
法一 常规方法，设出点P，设出切线，先利用双切线模型，然后，再利用韦达定理求出点A、B的坐标
设点，过点P和圆M相切的切线为，则，整理可得：…，
设切线PA、PB对应的m分别为、，则，．
切线与抛物线联立：，则，即，即点，同理可得点．
因此，直线AB为，即为，则圆心到直线AB的距离，结合式，代入化简可得：．
综上所述，对任意的动点P，存在实数，使得直线AB与圆相切．
法二 利用抛物线的两点式方程＋双切线模型＋轮换证明
设，，，则切线PA为，由可得：…①；
对于切线，同理可得…②．
因此，欲证明直线和圆相切，只需要由①②证得成立即可．
根据①②可知：是二次方程，即的两个根，故…③，…④，此时，只需要设法利用③④消去即可．
由③＋④、③－④分别可得：、．
因此，，此时，再利用④就可以消去，利用④可知，故，展开可得，故得证．
其他类型
例 (2017山东文压轴)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 动直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为．设D为AB的中点，DE、DF与⊙N分别相切于点E、F，求∠EDF的最小值．
解 (1) ；(2)，由可得：；设，，，则，，即．
由于，故．又，且为锐角，因此，只需要求的最小值即可！
由于，欲求的最小值，只需要求出的最大值即可．
，令，则，，因此，当，即时，取得最大值为3，此时，即，因此，∠EDF的最小值为．
例 (2017山东理压轴) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，焦距为2．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 如图，动直线交椭圆E于A、B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为，且．M是线段OC延长线上一点，且，⊙M的半径为，OS、OT是⊙M的两条切线，切点分别为S、T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
解 (1) ；(2) ，
，
注意到直线l恒过定点，此定点在椭圆内部，并结合，可知．
由于，又，欲求∠SOT的最大值，只需要求出的最小值即可．
又，当且仅当，即时取等号，此时，即，因此，∠SOT的最大值为，此时直线l的斜率为．