2023年九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题

2023年九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题

1．在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．

(1)如图1，连接，当B、A、E三点共线时，若，求的长；

(2)如图2，取的中点F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于G点，若，请直接写出的值．

2．如图，在等边中，，点D为边上一点，点E为边上一点，连接．

(1)如图1，过点E作交于点F，延长交延长线于点G，若，求的长；

(2)如图2，将绕点D逆时针旋转得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明；

(3)如图3，点K为边上一点，连接、，在第（2）问的条件下，当周长最小时，请直接写出的面积．

3．在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)如图，当点在线段上时，依题意补全图；

(2)在图的条件下，延长，交于点，求证：．

(3)在图中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．

4．在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接．

(1)①请补全图形：

②直接写出之间的数量关系____________；

(2)取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明．

5．与均为等边三角形，在边上，连接．

(1)如图，若，，求的长；

(2)如图，若，在平面内将图中绕点顺时针旋转，连接、，交于点，连接，在运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

6．（1）正方形中，对角线与相交于点O，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：       ；

（2）如图2，将（1）中的绕点B逆时针旋转得到，连接，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，则       ．

7．如图所示，在中，，，点为直线上的一个动点（不与、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，使点旋转到点，连接．

操作感知：如果点在线段上运动，过点作交直线于，如图所示，从而求得___________．

猜想论证：如果点在线段的延长线上运动，如图所示，以上结论是否依然成立，并说明理由．

拓展应用：连接，当点在直线上运动时，若，则的最小值为 ___________．

8．如图，在等腰三角形中，，，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是______，的大小为______；

(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，图中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

9．综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△（点A的对应点为点C）．延长AE交于点F，连接DE．

猜想证明：

(1)试判断四边形的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；

解决问题：

(3)如图①，若AB＝5，CF＝1，请直接写出DE的长．

10．如图1，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE，CG．

(1)求证：；

(2)猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想；

(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD绕着点D按逆时针旋转任意角度（如图2）．那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(4)如图3，将正方形ABCD绕着点D旋转到某一位置时恰好使得，．当正方形DEFG的边长为时，请直接写出正方形ABCD的边长．

11．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

(1)操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．

①线段DE与AC的位置关系是　   　．（不需证明）

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　   　，证明你的结论；

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

12．如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．

(1)如图1，求a，b的值；

(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；

(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．

13．【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到．延长AE交于点F，连接DE．

(1)【猜想证明】试判断四边形的形状，并说明理由；

(2)如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与的数量关系并加以证明；

(3)【解决问题】如图1，若AB＝13，CF＝7，请直接写出DE的长度．

14．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；

(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值______．

15．如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．

(1)证明：四边形ABCD是正方形；

(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；

(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE．连接CE、DE，点F是DE的中点．

(1)求证：BD=CE；

(2)如图1所示，在点D运动的过程中，连接CF，CF的延长线与AB交于点P，连接DP，试猜想DP与CE的位置关系和数量关系，并证明你猜想的结论．

(3)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，连接CF，CF的延长线与BA的延长线交于点G，求的值．

17．如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想

在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；

(2)探究证明

若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．

①△PMN的是______三角形．

②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

18．阅读材料：

如图①，与都是等腰直角三角形，，且点在边上，、的中点均为，连接、、，显然，点、、在同一条直线上，可以证明，所以．

解决问题：

（1）将图①中的绕点旋转到图②的位置，猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论．

（2）如图③，若与都是等边三角形，、的中点均为，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出与之间的数量关系．

（3）如图④，若与都是等腰三角形，、的中点均为，且顶角，请直接写出与之间的数量关系（用含有的式子表示出来）．

参考答案：

1．(1)；

(2)，

(3)．

2．(1)2

(2)，

(3)

3． (3)，

4．(1)

(2)，，

5．(1)

(2)，

6．（1）；（2）；（3）．

7．操作感知：；猜想论证：结论不成立，；拓展应用：的最小值为．

8．(1)，

(2)成立，

9．(1)四边形BFE是正方形，

(2)线段CF与的数量关系是CF=，

(3)

10． (2)AE⊥CG．

(3)（2）中结论仍然成立．

(4)

11．(1)①，②

12．(1)a=2,b=2

(2)CD=BD+AC．

(3)BQ是定值，

13．(1)正方形，

(2)，

(3)．

14．(1)，

(2)等腰直角三角形，

(3)8

15．(2)CQ⊥QE，CQ=QE．

(3)如图3-1中，当∠CGB=45°时，结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，结论：CH=EG+AH．

16． (2)PD=CE，PD∥CE，

(3)

17．(1)PM=PN，120°

(2)△PMN是等腰直角三角形，

(3)①等边  ②4≤S≤．

18．（1）；（2）不成立，；（3）