高中数学选择性必修第一册（综合检测卷）（含解析）

这是一份高中数学选择性必修第一册（综合检测卷）（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高中数学选择性必修第一册（综合检测卷）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l：x－2y＋k＝0(k∈R)过点(0,2)，则k的值为(　　)
A.－4　　　　B.4
C.2 D.－2
2.已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝(　　)
A.3 B.－3
C.5 D.－5
3.如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则＝(　　)
A.a－b－c B.－a＋b＋c
C.a－b＋c D.－a＋b＋c
4.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　　)

A．8 B．2 C．4 D．4
5.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A.－2 B.－4
C.－6 D.－8
6.已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，则
这个二面角的度数为(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．150°
7.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)
A.(－3,0) B.(0，－3)
C.(3,0) D.(0,3)
8.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则
cos∠F1PF2的值等于(　　)
A. B． C. D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列各组向量中，是平行向量的是(　　)
A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D.g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
10.已知点A(－1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)且与线段AB相交，则直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A.相交 B.相离
C.相切 D.不好确定
11.已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为－y2＝1 B.C的离心率为
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点 D.直线x－y－1＝0与C有两个公共点
12.已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的可能取值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝10与直线l：2x＋y＝0，则圆C与直线l的位置关系是________

14.已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，
∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝_________



15.已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝______，＝______

16.已知F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是_____________



四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，分别求下列直线l′的方程，l′满足：　
(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)与直线l关于y轴对称．








18.(12分)直线l经过两点(2,1)，(6,3)．
(1)求直线l的方程；
(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．








19.(12分)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E为BB1中点．
(1)证明：AC⊥D1E；
(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．







20.(12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率e＝，O为坐标原点，圆O：x2＋y2＝与直线AB相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1·k2是不是定值？证明你的结论．





21.(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P­CD­A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且＝3.
(1)求证：四边形ABCD为直角梯形；
(2)求二面角F­AE­D的余弦值．







22.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得＝＋，求m的取值范围．








参考答案及解析：
一、 单项选择题
1.B　解析：由题意可得，0－4＋k＝0，解得k＝4.
2.C　解析：因为a∥b，所以＝＝，所以4λ＋4＝6λ，解得λ＝2，所以＝，解得μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C.
3.D　解析：＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－＋＋＝－a＋b＋c，故选D.
4.C　解析：因为椭圆的2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，因为a2＝b2＋c2，所以c2＝12⇒c＝2，则2c＝4.
5.B　解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.
6.C　解析：设这个二面角的度数为α，由题意得＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2||·||cos(π－α)，
∴(5)2＝9＋25＋16－2×3×4×cos α，解得cos α＝0，∴α＝90°，即这个二面角的度数为90°
7.A　解析：设直线l的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.
又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，
所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．
8.A　解析：由题意知，F1(－2,0)，F2(2,0)，解方程组得
取P点坐标为，则＝，2＝，
cos∠F1PF2＝＝.
二、 多项选择题
9.ABC　解析：对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；
对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；
对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．
10.BC　解析：因为kAC＝1，kBC＝－1，直线l的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC方程为x＋y－4＝0，圆(x－6)2＋y2＝2的圆心(6,0)到直线BC的距离为，因此圆(x－6)2＋y2＝2与直线BC相切，结合图象可知，直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是相切或相离．
11.AC　解析：∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，又过点(3，)得λ＝1.故选项A正确；此时C的离心率e为，故B选项错误；y＝ex－2－1经过C的焦点(2,0)，故选项C正确；联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D选项错误．
12.CD　解析：由题意知，y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)．直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kos＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2>0.所以＝＝k2＋2>2. 故选C、D.
三、填空题
13.答案：相交
解析：由题意有圆心C(2,1)，半径r＝，则圆心到直线l：2x＋y＝0的距离d＝＝＝ 14.答案：
解析：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴·＝·＝·＝，
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝6，∴||＝.
15.答案：8，
解析：A(2，)是椭圆＋＝1上一点，代入可得＋＝1，解得m＝8，∴c＝＝2，F(2,0)．
∴|AF|＝＝，点F到直线x＝4的距离为d＝2，∴＝.
16.答案：
解析：双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得＝tan 30°＝，∴＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
三、 解答题
17.解：(1)因为l∥l′，所以l′的斜率为－，所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)l与y轴交于点(0,3)，该点也在直线l′上，在直线l上取一点A(4,0)，则点A关于y轴的对称点A′(－4,0)在直线l′上，所以直线l′经过(0,3)和(－4,0)两点，故直线l′的方程为3x－4y＋12＝0.

18.解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝＝，所以直线l的方程为x－2y＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心坐标为(2a，a)．
因为圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1，
所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

19.(1)证明：连接BD，
∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC.
在长方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC.
又BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，
∵D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E.
(2)解：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,1,1)．
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝1，得n＝(2，－1,1)．
∴cos〈n，〉＝＝，∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为.

20.解：(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
由圆O与直线AB相切，得＝，即＝，①
设椭圆的半焦距为c，则e＝＝，∴＝1－e2＝，②
由①②得a2＝4，b2＝1.故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)k1·k2＝，为定值，证明过程如下：
由(1)得直线AB的方程为y＝－x＋1，故可设直线DC的方程为y＝－x＋m，显然m≠±1.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝8－4m2>0，解得－ 由k1＝，k2＝，
得k1k2＝·＝·＝
＝＝＝.

21.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为PD⊥CD，PA∩PD＝P，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AD.
因为AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为直角梯形．
(2)解：过点A作AD的垂线交BC于点M，则PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，－1,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
由(1)知CD⊥AD，又CD⊥PD，则∠PDA为二面角P­CD­A的平面角，
所以∠PDA＝45°，PA＝1，所以P(0,0,1)，E，
所以＝，＝(1,1，－1)，＝(0,0,1)，
所以＝＝，＝＋＝，
设平面AEF的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则即
令z＝1，则y＝－1，x＝－1，所以n1＝(－1，－1,1)，
又平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，
由图知二面角F­AE­D为钝角，所以二面角F­AE­D的余弦值为－.

22.解：(1)由题意可得F1(0，c)，则＋＝1，解得x＝±，
∴△MNF2的面积S＝××2c＝＝.①
∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b.②
又∵a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程x2＋＝1.
(2)当m＝0时，则P(0,0)，由椭圆的对称性得＝，即＋＝0，
∴m＝0时，存在实数λ，使得＝＋.
当m≠0时，得＝＋，
∵A，B，P三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒＝3.
设A(x1，y1), B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.
由＝3，得x1＝－3x2，即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
∴＋＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0, 显然m2＝1不成立，∴k2＝.
∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0.解得－2 综上所述，m的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．