2022-2023学年安徽省芜湖一中江淮十校高三上学期第二次联考数学试题含解析

2022-2023学年安徽省芜湖一中江淮十校高三上学期第二次联考

数学

2022.11

命审单位：一六八中学   

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.若集合，，则

A.   B.

C.   D.

2.设，则“”是“”的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

3.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的

A.   B.   C.   D.

4.已知数列满足，则当取得最大值时的值为

A.2024   B.2023或2022   C.2022   D.2022或2021

5.函数在区间上的图象大致为

A.   B.

C.  D.

6.已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为

A.-2   B.-1   C.±1   D.±2

7.已知实数，，，则

A.   B.   C.   D.

8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何?”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，设，则

A.0   B.1   C.-1   D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.已知函数，则下列结论正确的是

A.导函数为

B.函数的图象关于点对称

C.函数在区间上是增函数

D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到

10.已知函数是定义在上的奇函数，且.若时，，则下列结论正确的有

A.函数的值域为

B.函数图象关于直线对称

C.当实数时，关于的方程恰有三个不同实数根

D.当实数时，关于的方程恰有四个不同实根

11.已知，均为正实数，下列结论正确的有

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.当且仅当时，取得最大值

12.已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为

A.   B.   C.   D.1

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.命题：，的否定为___________.

14.函数的极大值与极小值的和为___________.

15.已知函数，为直线上一点，过点作函数图象的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为____________.

16.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为.

（1）当时，求；

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若，其中，求函数的值域.

19.（本题满分12分）2022年是合肥一六八中学建校20周年，学校届时将举行20周年校庆活动，其中会建立校史展览馆并向各界校友及友好人士展出一六八中学自建校以来的大事记.已知展览馆的某一部分平面图如图所示，AB的长为18米，点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米，其中边界ACB是函数图象的一部分，前一段AC是函数图象的一部分，后一段CB是一条线段，现要在此处建一个陈列馆，平面图为直角梯形DEBF（其中BE、DF为两个底边）.

（1）求函数的解析式；

（2）求梯形DEBF面积的最大值.

20.（本题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.

（1）求角；

（2）请从条件①、条件②条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求AC边上中线D的长.

条件①：，；条件②：，；条件③，.

21.（本题满分12分）设各项均为正数的数列满足.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：.

22.（本题满分12分）已知函数.

（1）若时，函数恰好有一个零点，求的最大值；

（2）讨论函数的零点个数.

江淮十校2023届高三第二次联考

数学试题参考答案

一、单项选择题；本题共8小题.每小题5分，共40分.

1-4CABD    5-8DCBC

1.答案：C

解析：由，得，又，所以，选C.

2.答案：A

解析：即，.而即，，所以选A.

3.答案：B

由题意，的周期为，的周期为，的周期为，所以的周期为.选B.

4.答案：D

解析：∵，∴当时，；当时，，，当时，取得最大值.故选D.

5.答案：D

解析：由题可得是偶函数.排除A，C两个选项.又，当时，，，，当时，，，，所以当时，仅有两个零点.故选D.

6.答案：C

解析：，在方向上投影向量模长为，所以，选C.

7.答案：B

解析：易证对恒成立，当且仅当时等号成立，取，所以，即.又易对恒成立，当且仅当时等号成立，取，所以，即，综上，选B.

8.答案：C

解析：由题意知：这个人原来持金为斤，

第1关收税金为：斤；

第2关收税金为斤；

第3关收税金为斤，

以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，

所以，

即，解得，

又由，所以.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得分.

9-12BC  ABD  ABCD  BCD

9.答案：BC

解析：对于A：因为，所以，即选项A错误；

对于B：由，

∴，

∴的对称中心坐标为，B正确.

对于C：当时，，故在上是增函数，即选项C正确；

对于D：因为，所以的图象可出的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到.即选项D错误.故选：BC.

10.答案：ABD

解析：由，函数周期为4.又为奇函数，而时，，即，变形整理得.可得函数图象：

由图像可知，函数的值域为且关于对称，选项A、B正确.

记，由，所以为偶函数，当时，，当时，，图象为：

又方程有四个不同的根，当时，即直线与函数，，有四个交点，即直线与函数，，有四个交点，数形结合可得，又因为为偶函数，所以，同时时恰有一个交点，选项C错误，D正确.

11.答案：ABCD

解析：其中A：由，∴，A正确.

对于B：∵a，b为正实数，且，

∴

当且仅当，时，等号成立.∴B正确

其中C：由，即，由柯西不等式，即，C正确.

其中D：因为a，b均为正数，所以，令，

则

，

等号成立.条件为..D正确.

12.答案：BCD

解析：设在区间上零点为，则，所以点在直线上，由，其中О为坐标原点.

又，记函数，，利用导数可得最小值为，

∴，

∴选项BCD均满足.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.：，    14.    15.  16.

14.解析：由

∴或

当或时，，单调递减

当时，，单调递增

∴为极小值点

为极大值点

∴

15.解析：设，.由求导得，

则直线：，直线：，联立方程可得，

由在直线上，得，且，即.

因而

.

16.解析：由∴得

，所以，

因为所以，所以，

而，所以.

又由的外接圆的面积为，所以外接圆半径，

所以，

因为为锐角三角形，所以，

的面积取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.解：（1）由，所以集合.

由

（1）当时，不等式为：，即集合

又，所以.

（2）因为是的充分条件，所以B是的子集，；

当时，.满足题意；

当时，，所以或得；

当时，，所以或得；

综上，实数的取值范围为：

18.解：（1）由得：，

当得，，

又，所以，（舍去）；

当时，，，

又，所以，又，

所以，.

（2）

，

又，所以，。

，即函数的值域为.

19.解：（1）

（2）设点，所以，

∴

设，令

∴在单调递增，单调递减，∴

即时，梯形DEBF面积的最大值为44.·

20.解：（1）由向量与向量共线得：

∴

又因为，∴，

∴，又，∴；

（2）由①可知：

所以，或，不唯一确定（舍去）

由②可知：

又，所以，

即或，

不唯一确定（舍去）

由③可知：，，

，

∴

21.解：由得：

因为数列为正项数列，所以，

所以

（1）若①，则，又当时，，所以

（2）由（1）知，所以，

∴不等式成立

∴

∴

∴

∴

∵（仅在时取等号）

∴即结论成立.

22.解：（1）∵，，∴，

∵，∴在，

∴，又当时，；当时，；

∴

∴，

设

∴，∴在，

∴

所以的最大值为.

（2），∴，

当时，在恒成立，在

又当时，；当时，；

所以，函数在只有一个零点；

当时，由得方程有两个根，分别为

且

∴在，，

即为函数的极大值，为函数的极小值.

因此主要讨论极值与零的大小，又

设，

∴，在

∴，所以在区间内没有零点，又，

而

所以在上有一个零点；

综上所述：在上有一个零点.