2023届福建省百校联考高三上学期第一次联考数学试题含解析

2023届福建省百校联考高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得到集合，求对数型函数的定义域得到集合，最后根据交集的定义求交集即可.

【详解】因为，，所以.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定即可得答案.

【详解】解：因为命题“，”为特称命题，

所以命题“，”的否定是：，.

故选：A.

3．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.

【详解】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.

故选：C

4．在四边形中，，则“”是“四边形为直角梯形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别判断命题的充分性和必要性，即可得到答案.

【详解】若，则四边形为矩形或直角梯形，若四边形为直角梯形，则不一定为，所以“”是“四边形为直角梯形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】D

【分析】设直线与曲线的切点为，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】解：设直线与曲线的切点为，

因为，所以，

切线方程为，

所以，，

所以，又，，

所以，当且仅当时，等号成立，

故的最小值是4.

故选：D.

6．，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】应用诱导公式化简条件得，再由平方关系及倍角余弦公式即可求值.

【详解】由，则，

所以，又，即，

则.

故选：C

7．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得的周期为，再由周期性计算可得.

【详解】解：由①，则，

因为为偶函数，所以，

所以②，

由①②知，，所以，

故的周期为，所以，

而，即，

当时，，

所以．

故选：B．

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用换底公式用a，b表示，，然后将换底可求得答案.

【详解】解：由题意得：

因为，

所以，，则.

故选：A

二、多选题

9．已知函数有两个极值点,则(    )

A．是的极大值点, 是的极小值点

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】求导，根据导函数有两个变号零点分析即可

【详解】,因为存在两个极值点,所以

解得或

当和时,,单调递增

当时,,单调递减

故是的极大值点, 是的极小值点

且,

故选：AC

10．已知函数）的部分图像如图所示，则（    ）

A．，， B．

C．直线是图像的一条对称轴 D．函数在上单调递减

【答案】BC

【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出ω，代点求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论．

【详解】由题可知，，的最小正周期，解得，，则，又，所以，A不正确；

，B正确；

当时，，所以直线是图像的一条对称轴，C正确；，当时，，函数不单调，D不正确．

故选：BC

11．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式性质可判断AB，作差比较可判断C，利用放缩法可判断D.

【详解】，由不等式的性质可得，，故A错误；

，，，，即，故B正确；

，由，得，，所以，即，C正确；

因为，，，所以，D正确．

故选：BCD

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】构造函数，利用导数得单调性，构造确定比较，进而可得的大小关系.

【详解】设函数，则．由．得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．

设，则．，得；由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，则，故.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），所以，即.

因为，，，且，在，上单调递减，所以.

故选：ABC.

三、填空题

13．所数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为，所以，解得，

即函数的定义域为；

故答案为：

14．函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是_________.

【答案】

【分析】令，可计算得，从而可得定点坐标.

【详解】当，即时，，

所以函数的图象过定点.

故答案为：

15．已知正数，满足①，②两个条件中的一个，则的最小值为______.

【答案】选①：；选②：

【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，，

若选①，由，可得，

因为，所以，所以，当且仅当，即、时取等号；

若选②，，可得，所以，

当且，即，时等号成立；

故答案为：选①：；选②：

16．已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【分析】令，则在，上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内，或的一个解为，另一个解在内.

【详解】函数的大致图象如图所示，

对于方程有5个不同的实数解，令，

则在，上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内，或的一个解为，另一个解在内，

当在，上各有一个实数解时，

设，则解得，

当的一个解为时，，

此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意，

当的一个解为时，，

此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意，

综上可知，实数的取值范围为，

故答案为：．

四、解答题

17．设集合， .

(1)当时，求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先求解集合，当时，得集合，直接求解交集即可；

（2）利用集合之间的关系确定，分类讨论当时，当时，分别满足，得的取值范围.

【详解】(1)解：由题意得.

当时，集合，

则.

(2)解：因为，所以.

①当时，则，解得；

②当时，则，解得.

综上，的取值范围为.

18．已知幂函数在上是减函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)（2，5）.

【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.

（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.

【详解】(1)解：由题意得：

根据幂函数的性质可知，即，解得或.

因为在上是减函数，所以，即，则.

故.

(2)由（1）可得，设，

则的定义域为，且在定义域上为减函数.

因为，所以

解得.

故的取值范围为（2，5）.

19．已知函数．

(1)若在上有且仅有2个极值点，求的取值范围；

(2)将的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若的最小正周期为，求的单调递减区间．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据辅助角公式，结合函数极值的性质进行求解即可；

（2）根据正弦型函数图象变换性质，结合正弦型函数的周期公式、单调性进行求解即可.

【详解】(1)，

因为，所以当时，，

依题意可得，函数在上有且只有2个极值点，

则，解得，故的取值范围是；

(2)依题意可得，，

因为的最小正周期为，所以，即，

所以，令，，

则，，

故的单调递减区间为．

20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）

(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

【答案】(1)13分钟

(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

【分析】（1）由题意列方程求解

（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值

【详解】(1)由题意可得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟）.

故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.

(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，

当时，取得最大值3400万元；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元.

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

21．已知函数．

(1)若在上有零点，求的取值范围．

(2)试问直线能否为曲线的一条切线？说明你的理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由得，构造函数，求出的值域即可得解；

（2）设切点为，由题意列出关于的方程组，得出，由是该方程的一个解，即可得出结论．

【详解】(1)由，得，

设函数，则为减函数，

因为，

所以的值域为，

因为在上有零点，所以的取值范围是．

(2)直线可能为曲线的一条切线．

证明如下：

，

设切点为，则

消去，得，

因为是方程的一个解，

所以该方程至少有一个解，当时，，直线为曲线的一条切线．

故直线可能为曲线的一条切线．

22．已知函数

(1)若，证明：当时，.

(2)若，，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导得到，构造，求导，得到函数的单调性，从而得到，进而得到，在上单调递增，证明出结论；

（2）利用同构构造，得到，证明出，结合，分与讨论得到答案.

【详解】(1)证明：因为，所以

今函数，则

当时，，所以在上单调递增，故，即，则在上单调递增.

故当时，

(2)等价于等价于

令函数，则等价于

令函数，则．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故，即恒成立．

若，则在上恒成立，单调递增，

恒成立．符合题意.

若，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

此时，这与恒成立矛盾，不符合题意．

综上所述，a的取值范为．

【点睛】同构是一种重要方法，常常用在处理复杂的函数，且同时存在与的函数，要注意总结常用的同构函数.