2023届河北省保定市高三上学期摸底数学试题含解析

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2023届河北省保定市高三上学期摸底数学试题一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合，结合交集的定义求.【详解】由，化简可得，所以，所以，又，所以，故选：D.2．若复数z满足，则（    ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模的公式即可求解【详解】由可得，所以，故选：C3．如果是两个共线的单位向量，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量相等的定义判断A，根据数量积的定义和性质判断B，C，D.【详解】因为是单位向量，所以，，所以，，所以，D正确；由已知共线，所以的方向相同或相反； 当的方向相反时，，A错误；当的方向相反时，，B错误，C错误；故选：D.4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则“阳马”的体积最大为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据条件，写出四棱锥 体积的表达式，再运用二次函数的知识即可求出最大值.【详解】由题意知： 平面 ，设 ，则有 ， ， ；考虑 是关于 开口向下的二次函数，当 时取得最大值，最大值= ，∴ 的最大值为 ；故选：C.5．等差数列中，，是方程的两个根，则的前2022项和为（    ）A．1011 B．2022 C．4044 D．8088【答案】C【分析】根据根与系数之间的关系，结合等差数列的性质以及前项和公式，求解即可.【详解】因为，是方程的两个根，故可得，又数列是等差数列，故，故.故选：.6．已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图像上特殊点的坐标满足的解析式，结合函数的周期情况，即可求得参数，再利用整体法求函数单调增区间.【详解】根据的图象可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，解得或，解得：或，数形结合可知：，即，结合，解得，显然不满足题意，故对，当且仅当时，满足题意；故；令，解得.即的单调增区间为：.故选：B.7．已知，函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数单调性结合零点的存在性定理和唯一性定理即可判断大小关系.【详解】因为单调递增,且由零点的存在性定理可知有唯一零点且;因为在单调递增,且,由零点的存在性定理可知有唯一零点且;因为在单调递增,且,由零点的存在性定理可知有唯一零点，所以.故选:C.8．定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求出当，时，函数的解析式，做出函数图象，结合图象可求的范围.【详解】因为，当时，.所以当，时， ，因为，所以，所以，所以当，时，当时，，又，且对任意，都有，所以，作出函数在上的图象，要使，则需，其中，，所以，解得，所以，故选：B.二、多选题9．已知函数，则（    ）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】BC【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再结合正弦函数的性质对其性质逐一判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为，故A错误.的最小正周期，故B正确.令，，化简得，，取可得，所以函数的图像关于直线对称，故C正确.令，，化简得，，取可得，当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选: BC.10．如图，AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，则圆O上存在点M使（    ）A． B．平面SBCC． D．平面SBC【答案】BC【分析】利用反证法的思想可判断AD不成立，通过面面平行可判断B，通过线面垂直可判断C.【详解】假设存在点M使，所以四点共面，又因为，所以面，易得点为面和面的公共点，所以三点共线，与题意矛盾，故不存在点M使，即A错误；过作，交劣弧与点，连接，由于分别为的中点，所以，由于面，面，所以面，面，又因为，所以面面，由于面，所以面，即B正确；点的位置同选项B，由于为直径，所以，即,由圆锥易得，，所以面，所以，即C正确；假设在点M使面SBC，所以，又因为，，所以面，故面SBC应与面平行，与题意显然不符，即D错误；故选：BC.11．已知公比为的正项等比数列，其首项，前项和为，前项积为，且函数在点处切线斜率为1，则（    ）A．数列单调递增 B．数列单调递减C．或5时，取值最大 D．【答案】BCD【分析】根据导数的几何意义，求得，结合数列的单调性，以及等比数列的前项和的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，故则，，解得，又，且数列是正项数列，故可得，故该数列单调递减，A错误；对B：，由A知：，故，故数列单调递减，B正确；对C：由A可知：，又，故数列的前4项均为大于的正数，从第项开始均为小于1的正数，故当或时，取得最大值，C正确；对D：因为，故，因为，故可得，即，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，以及等比数列前项和的计算，涉及导数的几何意义和计算，处理问题的关键是对多项式函数正确的求导，属综合中档题.12．已知函数，以下结论不正确的是（    ）A．时，若，则B．时，的图像与直线有两个交点C．是在上单调递增的必要不充分条件D．时，有5个零点【答案】ACD【分析】对于A选项，由得到m的值，后判断正误.对于选项B，即判断函数的零点个数.对于选项C，由在上单调递增可得在上恒成立.对于选项D，问题转化为求方程解的个数，其中t为零点.【详解】对于选项A，当时，.因，故时，有唯一解m=0.此时.当时，.此时，则在上单调递增.又，故，使得.则，又在上单调递增故，故A不正确对于选项B，分析函数.因，则当时，，对，，则时，有唯一零点0.当时，，则在上单调递减.又，故当时，有唯一零点1.综上，在R上有两个零点，即的图像与直线有两个交点.故B正确.对于C选项，因在上单调递增，则，得，.故C不正确.对于选项D，设的零点为，则的零点个数，就是方程解的个数.由选项A知，当时，有唯一零点0.当时，由，得.故此时零点个数就是图像与直线的交点个数.，得在上单调递增，在上单调递减.则.又注意到则与图像有两个交点，即有两个零点，设为其中又当时，.则在上单调递减，在上单调递增当时，，因，则在上单调递减，在上单调递增.又，，.据此可做出的大致图像.方程解的个数就是图像与直线的交点个数.当时，由图可知有3个交点；当时，有2个交点；当时，有2个交点综上，时，有7个零点，故D不正确.又该题需选不正确选项.故选：ACD【点睛】方法点睛：本题为函数，方程，导数综合问题，涉及到的方法有：（1）找函数零点时可利用函数单调性结合零点存在性定理，也可参变分离后利用图像处理.（2）函数与直线的交点个数问题可转化为函数的零点个数问题.（3）函数在某区间上单调递增可得到其导函数在该区间上恒大于等于0.（4）对于含形式的零点问题，常转化为解方程，其中t为零点.三、填空题13．已知，那么__________.【答案】【分析】根据三角函数诱导公式化简即可.【详解】因为所以.故答案为: .14．过点且与曲线相切的直线方程为____________________.【答案】或【分析】设切点的横坐标为，利用导数构建关于的方程后求出，从而可求切线方程.【详解】设切点为的横坐标为，因为，故，故，整理得到：，故或，故切线的斜率为或， 故切线方程为或，即或，故答案为：或，15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的体积和为__________.【答案】【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解.【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接，则为正四面体内切球的半径，因为，，，所以，所以，解得，所以正四面体内切球的体积，由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径，故最大球体积为；中等球内切于高的正四面体中，中等球半径，故中等球的体积为；最小求内切于高的正四面体中，最小球半径，故最小求的体积为；所以九个球的体积和，故答案为：.四、双空题16．设向量，，则与的夹角为__________，在上的投影向量为__________.【答案】          【分析】利用向量数量积的定义和坐标表示即可得到与的夹角，根据投影向量的概念求解在上的投影向量即可.【详解】由题意得，又因为，，所以，所以与的夹角为，在上的投影向量为.故答案为：，.五、解答题17．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再通过三角恒等变换求角A；(2)在中利用余弦定理可求，结合条件求，利用三角形面积公式可求的面积.【详解】（1）已知，由正弦定理得：，即，所以，化简得，∵，，∴，又∵，∴；（2）由已知可得，，又.由余弦定理可知，所以，所以，因为，所以，在中，有余弦定理可知，所以，所以，所以的面积为.18．已知数列满足，其中为常数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用换元构造新数列，结合等差数列的定义，根据题意，求得公差，写出通项，可得答案；（2）由题意，整理数列的通项公式，利用裂项相消，结合反比例函数的性质，可得答案.【详解】（1）由已知，令，可知数列是公差为的等差数列，，，即，所以，即，解得，所以数列的通项公式为.（2），所以，由于，，，所以.19．如图，正三棱柱中，，，D是AB的中点，E是上一动点.(1)若，求到平面BAE的距离；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABE的一个法向量后可求点面距.也可利用等积法求点面距.（2）求出平面与平面的法向量后可求面面角的余弦值.【详解】（1）方法一：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，由题意易知，，，，所以，，设平面ABE的一个法向量为，则，所以，令，得，设到平面ABE的距离为d，则方法二：在正三棱柱中，D为AB的中点，所以面，因为，所以因为面，所以E到面的距离为所以易知，设到平面ABE的距离为d，则因为，所以（2）在正三棱柱中，D为AB的中点，所以面，因为，所以因为面，所以E到面的距离为所以易知，设到平面ABE的距离为d，则因为，所以所以到平面ABE的距离为（2）方法一：由（1）知，，，，，设，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以令，得，因为面，所以，解得，所以E为中点，取BC得中点H，易知平面，所以平面的一个法向量为，所以平面与平面的夹角的余弦值为.所以，平面与平面的夹角的余弦值.方法二：取中点F，连接、DF，记，则G是DF中点，连接GE，则面面，因为平面，平面，所以，因为G是DF中点，所以E是中点.所以，，设平面的一个法向量为，则，所以，即，令，得取BC得中点H，易知平面，，所以平面的一个法向量为，所以平面与平面的夹角的余弦值为：.所以，平面与平面的夹角的余弦值.（建系方法不唯一，参照给分）20．已知函数，函数的图象与的图象关于点对称，把的图象向右平移个单位得到函数的图象.(1)求的解析式；(2)设函数（，且），若的值域是，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】(1)先利用代点法求的解析式，再根据图象变换关系求函数的解析式；(2)求出函数在上的取值范围，结合条件及对数函数的性质列不等式求a的取值范围.【详解】（1）设是图象上任意一点，设是点关于点的对称点，则，，所以，，由已知在图象上，所以，，即，把图像向右平移个单位，得所以；（2）因为当时，，，所以，当时，，当时，函数在上单调递减，在的取值范围为，所以的值域为，与已知矛盾，当时，函数在上单调递增，在的取值范围为，所以的值域为， 要使的值域为，则，解得故所求a的取值范围为.21．某公司出产了一款美观实用的筷子笼，如图，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得.如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，AB，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且.(1)证明：；(2)若底面有一动点M从A点出发在圆O上运动，过动点M的母线与截面交于点N，设，，其中.①求与的函数关系；②将圆柱侧面沿母线剪开并展平，请在所给的展开图中画出平面截圆柱侧面的截痕，并建立适当的平面直角坐标系直接写出其解析式.【答案】(1)证明见解析(2)①，；②答案见解析【分析】（1）根据线面垂直的判断定理可得平面，从而可证.（2）过点M做MF垂直于直线l垂足为F，连接NF，作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，结合线段长度关系可得，从而可得截痕.【详解】（1）由题意，，∵为圆柱的母线，则垂直圆柱下底面圆O，∴直线l是平面与底面交线∴，又因为，平面∴平面，而平面，则.（2）①因为且，所以为平面与底面二面角的平面角又因为，所以.过点M做MF垂直于直线l垂足为F，连接NF，则，作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，∵，则底面圆O半径又因为，所以，，，又∵，∴，∴，②展开后截痕如图：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示，解析式为，（建系方式不唯一，解析式不同，参照给分）22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设， 是的两个不同零点，且，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出导数后，将参数分为和两种情况讨论导数取值即可.(2)根据函数列式将参数消去，，然后利用抓商构造型函数，同时将证明问题进行转换，构造成新的函数求导进行证明.【详解】（1）（1）定义域为，①当时，，在单调递减；②当时，解，得；解，得综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减.（2）由于且∴，令，，则，，∴，要证，即证即证.构造函数.令，当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，因此有，即.∴【点睛】方法点睛（1）联立消参：利用方程消除解析式中的参数a（2）抓商构元：令，消除变量，构造关于t得函数（3）用导求解：利用导数求解函数得最大值或者最小值，从而可证得结论.