2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题含解析

2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题

一、单选题

1．设集合A，B满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合A，B的运算结果以及集合A，结合选项可得集合B．

【详解】，

故选：B

2．设复数（i为虚数单位），则（    ）

A．0 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由复数的共轭复数得到，再根据复数的四则运算与复数模的运算即可得到答案.

【详解】复数（i为虚数单位），

，

，

.

故选：D.

3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据垂直关系的性质可判断.

【详解】由题，，则或，

若，则或或与相交，故充分性不成立；

若，则必有，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．

【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，

由题意可得，，，

故，，

解可得，，，

故任意两人所得的最大差值．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

5．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解

【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；

点在圆上，故，即

故直线l的方程为：

令令

当l的横纵截距相等时，

又

解得：

即，即

故选：A

6．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（    ）

A．4 B．8 C．10 D．16

【答案】A

【分析】利用扇形的弧长公式和圆心角，即可计算求解.

【详解】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.

故选：A.

7．已知函数，不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，

则等价于，解得，即原不等式的解集为.

故选：B.

8．已知双曲线的左、右焦点分别是，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使二面角的平面角的大小为，且三棱锥的体积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意求出点坐标，即可得到，再由二面角的定义可知为二面角的平面角，再根据锥体的体积公式得到，从而求出离心率；

【详解】解：由题意可知，直线的方程为，代入双曲线方程可得，

设点在轴上方，则，可得，所以，

由题意可知，且，所以平面，

所以为二面角的平面角，即，

所以，即，

又，所以，可得双曲线的离心率为，

故选：A．

9．下列说法正确的是（    ）

A．样本中心不一定在回归直线上

B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1

C．若所有样本点都在直线上，则

D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则

【答案】D

【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；根据相关系数的意义即可判断BC；根据指对数计算即可判断D.

【详解】选项A：回归直线必过样本中心，故A不正确；

选项B：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确；

选项C：若所有样本点都在直线上，则，故C不正确；

选项D：以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，故D正确.

故选：D.

二、多选题

10．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（     ）

A．数列是等比数列

B．数列是等差数列

C．数列的通项公式为

D．

【答案】AC

【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.

【详解】因为，

所以，，

即，且，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；

所以，即，故C正确；

因为，

所以，

故D错误；

故选：AC.

11．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线垂直

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递减

【答案】ABD

【分析】先化简函数得，求出，利用周期公式可以判断选项A利用导数可以判断选项B；利用三角函数的性质求出函数的对称轴和单调区间可以判断选项CD.

【详解】解：，结合图象可得，即，

所以，解得，

又，所以，因此，

由题意，根据周期公式可得，所以选项A正确；

假设存在，设切点为，则，所以在的切线的斜率，又与直线垂直，所以，得，假设成立，所以选项B正确；

，其对称轴为，即对称轴为，所以选项C不正确；

，根据余弦函数的单调递减区间，可得，即，所以选项D正确.

故选：ABD

12．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】CD

【分析】由题构造函数，进而可得，然后构造函数，利用导数可得函数的最小值，即得.

【详解】设，则在R上单调递增，

因为，则，

设，则，即，

所以，

设，，

当，当，

则在单调递减，在单调递增，

，即，

所以，即，

故的取值可以是3和4.

故选：CD.

三、填空题

13．的展开式中常数项为________．（用数字作答）

【答案】

【解析】利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；

【详解】的展开式的通项公式

当和时，可得展开式中常数项为，

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题.

14．已知平面向量，满足，，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】利用向量的模的计算公式，化简即可得到向量的终点的轨迹方程，进而利用数形结合，即可求解.

【详解】设，则，，即为，则在平面坐标系中向量的终点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离为，则.

故答案为：

15．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）

【答案】144

【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排

【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.

故答案为：144.

16．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．

【答案】1

【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确保根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围.

【详解】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，

∴，作出的图象，如图

要使有三个不同的零点，，其中

令，则需要有两个不同的实数根（其中）

则，即或，且

若，则，∵，∴，则

∴，则，且

∴=

若，则，因为，且，

∴，故不符合题意，舍去

综上

故答案为：1

【点睛】数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，进而求得结果。

四、解答题

17．已知数列的前项和是，且，等差数列中，．

(1)求数列的通项公式；

(2)定义：记，求数列的前20项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；

（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和．

【详解】(1)由题意，当时，．

两式相减，得，即．

是首项为3，公比为3的等比数列．

．

设数列的公差为，

．

．

(2)由．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角A；

(2)若点D满足，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据正弦定理，进行边角互换，结合三角形内角和与诱导公式，可得答案；

（2）由题意，根据平面向量的共线推论，可得三角形面积之间的关系，结合余弦定理和基本不等式，可得答案.

【详解】(1)由，则，

，，

由，则，由，则，

由，解得.

(2)由题意，设，则

，由，则，即，

，，

，当且仅当时，等号成立，

，即面积的最大值为.

19．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.

(1)求证：，，，四点共面；

(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；

（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.

【详解】(1)证明：如图所示：

连接，，取的中点为M，连接，ME，

因为E为的中点，所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为F为的中点，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

所以，

所以B，E，，F四点共面；

(2)以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，

则，，，

设平面BEF的一个法向量为，

则，即，

取，则；

设平面GEF的一个法向量为，

则，即，

取，则；

因为平面平面BEF，

所以，

所以，

所以.

所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.

20．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；

(2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

【答案】(1)；

(2)分布列见解析；

(3)

【分析】（1）利用古典概型结合组合公式求解；（2）写出的可能取值，利用超几何分布求得分布列，利用数学期望公式求得期望；（3）先计算得小明同学一轮测试得“优秀”的概率，再利用二项分布的期望公式列不等式求解.

【详解】(1)记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，

参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，

随机选择3所学校共种，所以.

(2)的所有可能取值为，

参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，

所以，，

，，

所以的分布列如下表：

所以.

(3)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，

则，

由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，

由题意列式，得，

因为，所以的最小值为，

故至少要进行轮测试.

【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

21．已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为，得到，进而求得，即可求得椭圆C的方程；

（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．

故设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，结合，求得，得到，再由，列出不等式，即可求解直线的斜率的取值范围.

【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为，

即，所以，

又因为，可得，

所以椭圆C的方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．

故设直线l的方程为，

联立方程组，可得，

则，

所以，

因为，可得，所以，

又由，可得，所以，解得或，

综上可得，直线的斜率的取值范围是.

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，通常联立直线方程与圆锥曲线）程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．

22．已知函数，其中.

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知在上恒成立，进而在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案.

（2）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

故令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，故，

所以，即的取值范围是.

(2)解：，

对函数，设上一点为，

过点的切线方程为，

将代入上式得，

所以过的的切线方程为.

所以，要使与有两个交点，则，

此时有两个极值点，且.

，

令，则，

所以，

所以，即

所以，

令，

令，

所以在上递增.

因为，所以在上恒成立.

所以在上恒成立.

所以在上递增.

，

所以当时，，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案.