2023届河南省青桐鸣高三上学期第三次大联考数学（理）试题含解析

2023届河南省青桐鸣高三上学期第三次大联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A，再求.

【详解】集合.

因为，所以.

故选：C

2．已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定得到，然后将存在问题转化为最值问题，求出即可.

【详解】：，，因为为真命题，则，即.

故选：C.

3．设a，b是实数，则“”的一个必要不充分条件是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于AC，举反例排除即可；

对于B，易知与等价，排除；

对于D，先证推出，再证推不出即可.

【详解】假设“”的必要不充分条件为，则，即找能推出但不等价的条件.

对于A，令，显然满足，但，故A错误；

对于B，由幂函数的单调性易知与等价，故B错误；

对于C，令，显然满足，但，故C错误；

对于D，当时，，由的单调性得；

当，即时，令，显然，但，即推不出，故D正确.

故选：D.

4．若向量，，满足，，，，，则（    ）．

A．5 B．6 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由等式两边同乘以向量和，根据数量积的性质分别求即可.

【详解】因为，所以，又，，，所以，

因为，所以，又，，，所以，

所以，故选：A.

5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】，通过比较5和，可得到大小关系.通过比较与，可得到大小关系.

【详解】，因，，

在上单调递增，则，

又在上单调递增，则，即.

又，在在上单调递增，

则，又，则.

故选：A

6．已知角，角，终边上有一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式及三角函数的定义可求.

【详解】点到原点的距离为1，故即为，

由诱导公式得，，

故，

又，则，结合可得．

故选：A．

7．如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.

【详解】解：对于A：定义域为，

当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；

对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；

对于C：定义域为，

又，所以当时，

当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；

对于D：定义域为，

所以当或时，当时，

即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；

故选：D

8．已知在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－2，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理和基本不等式求出的最小值.

【详解】由a＝4，c＝2b－2得，．

由余弦定理知，.

令b－1＝m，则，b＝m＋1，

所以，（当且仅当，即，，时取等号）．

故选：C．

9．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得，进而可得，，结合条件即得.

【详解】因为是偶函数，故，

故由，得，

由函数在上单调递增得，

则，则，

所以，即，，

所以ACD不合题意，选项B符合条件．

故选：B.

10．如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把用表示，然后由三点共线可得．

【详解】由题意得，，

因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．

故选：C．

11．以意大利数学家莱昂纳多·斐波那契命名的数列满足：，，设其前n项和为，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，可得，运用数列的递推式可得所求和．

【详解】解：因为，，，

所以数列的前项和为

．

故选：B．

12．已知函数，则以下结论：①的周期为；②的图像关于直线对称；③的最小值为；④在上单调，其中正确的个数为（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】对于①，利用诱导公式证昨，故的周期为；

对于②，研究在上的函数，利用余弦的函数性质及诱导公式证得，故的图像关于直线对称；

对于③，分类讨论与两种情况，发现都不成立，故的最小值不为；

对于④，直接计算发现，故在上不单调.

【详解】对于①，因为，根据函数周期性的定义可知①正确；

对于②，由得，研究1个周期上的函数图像即可，

当时，，故，此时，，，故的图像关于直线对称，故②正确；

对于③，若，则，此时，；

同理：若，则，此时，；故最小值不能取，故③错误；

对于④，因为，即，所以函数在上不单调，故④错误；

综上：正确的个数为2.

故选：B.

二、填空题

13．已知函数，的值域分别为，，，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据指数函数、二次函数的性质求出集合，，再根据交集的结果得到参数的取值范围.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，

因为，所以，即.

故答案为：

14．已知数列为等比数列，公比，首项，前三项和为7，，则n＝______．

【答案】5

【分析】首先利用条件求等比数列的通项公式，再根据通项公式，列式求的值.

【详解】由条件可知，，即，，

解得：，所以，

，即，

得，解得：或（舍）.

故答案为：5

15．已知，，则______．

【答案】

【分析】根据三角恒等变换可得，然后结合条件及两角差的正切公式即得.

【详解】因为，

所以，

则，

即，又，

联立得，，

故．

故答案为：.

16．已知为定义在上的奇函数，是的导函数，，，则以下命题：①是偶函数；②；③的图象的一条对称轴是；④，其中正确的序号是______．

【答案】①②④

【分析】①根据奇函数的定义，利用复合求导公式，可判断①正确；

②根据题意，赋值即可求出②正确；

③利用与的关系，结合复合函数求导公式可推出的对称中心是，③错误

④可证明是周期为的周期函数，进一步求出即可求得答案.

【详解】对于①，由为定义在上的奇函数可知，则，

即，，即，为偶函数①正确；

对于②，对赋值x＝1，得，故②正确；

对于③，由与可知，

，则（c为常数），

令x＝1，则c＝0，所以，

故，则关于中心对称，由题意可知不是常函数，故不是其对称轴，③错误；

对于④，为定义在上的奇函数，则，又，，

则，，，

则的周期T＝4，

故，故④正确．

故答案为：①②④．

【点睛】方法点睛：关于抽象函数的处理方法主要有,

（1）赋值法求具体函数值；

（2）记住函数对称的两个重要结论，关于对称，则，关于对称，则；

（3）抽象函数具体化，比如对数函数满足，指数函数满足等等.

三、解答题

17．若数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）运用累加法即可求出 的通项公式；

（2）运用裂项相消法即可证明.

【详解】（1）因为，，

所以，

故；

（2）证明：当n＝1时，；

当时，，

则，

故；

综上，.

18．已知函数．

(1)求函数的对称中心及最小正周期；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)函数的对称中心为，，函数的最小正周期为；

(2).

【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，结合正弦函数性质求函数的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得，结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求.

【详解】（1）

，

，

，

令，，可得，，

又，

所以函数的对称中心为，，

函数的最小正周期；

（2）因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

故，

所以，

所以或，

又，故.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

(1)若，求的周长；

(2)若内切圆、外接圆的半径分别为r，R，求的取值范围．

【答案】(1)的周长为；

(2)的取值范围为.

【分析】(1)根据余弦定理列方程，结合已知条件可求，由此求的周长；

(2)根据正弦定理可得，根据内切圆的性质及三角形面积公式可得，利用二次函数性质求的取值范围.

【详解】（1）由余弦定理可得，又，，，

所以，所以，，所以的周长为；

（2）由正弦定理可得，所以，设的面积为，

由内切圆的性质可得，又，

所以，所以，又，，所以，因为，，，所以，

令，则，，所以，所以，

所以，所以的取值范围为.

20．已知为定义在上的偶函数，，且．

(1)求函数，的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）由题可得函数为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函数，的解析式；

（2）令，进而可化为，根据指数函数性质解不等式即得.

【详解】（1）由题意易知，，则，

即，

故为奇函数，故为奇函数，

又①，则，

故②，

由①②解得，；

（2）由，可得，

所以，即，

令，则，

解得，

所以，即，

所以，

解得，

故不等式的解集为．

21．若数列满足,．

(1)证明:是等比数列；

(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)7

【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,

(2)由(1)求出的通项公式,与题中等式联立,求出通项公式,进而求出前n项和为,代数使得即可求出n的最大值.

【详解】（1）证明：因为,

所以,,

故

,

又,则,,

故是以－1为首项,2为公比的等比数列．

（2）由(1)得①,

又②,

②－①得,,

故

,

易得为递增数列,

又,,

,故n的最大值为7.

22．已知函数在处的切线过点，a为常数．

(1)求a的值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）先对函数求导，然后求出和，再由题意可得，从而可求出a的值；

（2）根据题意将问题转化为，令，利用导数可得恒成立，令，再利用导数可得取得最小值0，从而可证得结论.

【详解】（1）由，得，

所以，，

因为在处的切线过点，

所以，

所以，解得，

（2）证明：要证，即证，

即证，

即证，

因为，

所以即证，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以恒成立，

令，则，

所以在递增，

所以当时，取得最小值0，

所以原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是根据题意将问题转化为，再次转化为，然后通过两次构造函数，利用导数可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.