2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学（文）试题 一、单选题1．若复数z满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数加减运算及复数模的定义求解即可.【详解】因为，所以，故选：B．2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】因集合，则有，所以.故选：D3．记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于的方程，求解作答.【详解】正项等比数列中，，由得，整理得，即，解得，所以数列的公比.故选：C4．下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为；③从这12个增速中随机抽取1个，增速超过10的概率为．则说法正确的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】观察走势图易判断①正确；12个数据由小到大排列，位于第6位和第7位的分别是4.6和7.2，故中位数为4.6和7.2的平均数；12个数据中，超过10的有5个，由古典概型可得结果.【详解】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的的中位数为，故②正确；从这12个增速中随机抽取1个，超过10的概率为，故③正确.故选：D．5．已知，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数与对数的运算性质比较【详解】因为，所以，故选：D6．函数的大致图象为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的奇偶性与特殊值判断【详解】由得函数为奇函数，故排除B，D，当时， ，排除A，故选：C7．若，下列结论错误的是（    ）A．的最大值为1 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为2【答案】C【分析】根据均值不等式，重要不等式及其变形，逐项分析即可求解.【详解】因为，所以，当且时，的最大值为1，当且时，的最小值为，故A、B正确；由，可得，当且仅当时取等号，C错误；因为，当且仅当时取等号，D正确，故选：C．8．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据长方体中的平行关系可得即为异面直线与所成角，解直角三角形即可得解.【详解】如图，因为，所以即为异面直线与所成角，设，则，在长方体中，在中， ，故选：A．9．已知函数的两个相邻的零点为，则的一条对称轴是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两个相邻零点的距离求出最小正周期，从而求出，代入特殊值后求出，求出的解析式，求出对称轴方程为，从而求出正确答案.【详解】设的最小正周期为T，则，得，所以，又因为，且，所以，则，所以的对称轴为，解得，取，得一条对称轴为直线.故选：B．10．“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ）A．里 B．里C．里 D．里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则得解.【详解】由题意可知，所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里，故选：C．11．在EXCEL软件中，函数ROUND（number，num_digits）是四舍五入函数，它含有两个参数，其中number表示要进行四舍五入的数，num_digits表示保留小数的位数．如：，已知，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】构造函数，利用对数函数的单调性确定的范围，再按给定定义计算作答.【详解】函数在上单调递增，则有，令函数，显然在上单调递增，当时，，因此，即，所以.故选：B12．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的函数图象，结合图象的平移变换求解【详解】在同一坐标系内作出与的图象，当射线与曲线相切时，即方程时，由，解得，结合图象可得时，，所以a的的取值范围是，故选：B 二、填空题13．设，若，则实数____________．【答案】【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为，且，故，解得．故答案为：14．若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．【答案】4【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可.【详解】抛物线方程化为标准形式为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．故答案为：415．已知，且，则____________．【答案】【分析】由三角恒等变换公式化简后求解【详解】，，因为，所以，，所以．故答案为： 三、双空题16．已知曲线在点处的切线与在点处的切线垂直，则____________；的最大值为____________．【答案】          【分析】由导数的几何意义得的关系后求解，再将转化为函数求解求值【详解】因为，所以，由题意得，即，所以；，设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以．故答案为：， 四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题．已知数列的前n项和为，，且____________．(1)求的通项公式；(2)若是的等比中项，求数列的前n项和．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，；(2). 【分析】（1）选①，利用与的关系求解作答；选②，构造等差数列求出求解作答；选③，构造常数列计算作答；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解作答.【详解】(1)选①，，由，得，则，即，而，因此是以1为首项，4为公差的等差数列，，所以的通项公式为．选②，由，得，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，则，则，当时，，当时，满足上式，所以的通项公式为．选③，由，得，因此数列是常数列，则有，即，所以的通项公式为．(2)由（1）知，，依题意，，则所以，所以数列的前n项和．18．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求证：a，b，c依次成等差数列；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）利用正弦定理将题干条件变形为，进而得到，证明出结论；（2）在第一问的基础上，结合基本不等式求出，利用余弦定理得到，从而结合同角三角函数平方关系求出，利用面积公式求出.【详解】(1)证明：由正弦定理可知，得，即，因为，所以．由正弦定理得，故a，b，c依次成等差数列．(2)由于，得，所以．所以，当且仅当时等号成立，所以．所以，故，当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为．19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，．是等腰直角三角形，，且平面平面．(1)求证：；(2)若，求点C到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离即可.【详解】(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以．又平面平面，所以平面，又因为平面，所以．(2)设的中点为O，连接，因为是等腰直角三角形，，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面．由，可得，由（1）知，所以．所以，所以．设点C到平面的距离为h，则，所以，即点C到平面的距离为．20．设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．(1)求C的方程；(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆过的点可得，再结合离心率即可计算作答；（2）联立直线l与椭圆C的方程，求出弦PQ长及点O到直线l的距离即可求解作答.【详解】(1)因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，则有，解得，所以C的方程为．(2)依题意，，由消去x并整理得：，，设，则，于是得，点O到l的距离，因此，即，整理得，即，显然满足，所以.21．已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据函数的单调性知函数导数不小于0恒成立，分离参数后，利用导数求最大值即可得解；（2）要证明原不等式可转化为证明，换元后只需证，构造函数，利用导数求最小值不小于0即可.【详解】(1)因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立．令，则．因为当时，，所以，即在上单调递减，所以，从而，即实数a的取值范围是．(2)证明：当时，．要证，即证，即证，即证．令，则只要证．令，则．当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，所以，即成立，故．【点睛】关键点点睛：证明不等式时，首先对证明不等式化简，转化是正确求证的前提，也是最关键一步，其次化简不等式后一般要构造函数，利用导数求出函数的最值，据此判断不等式是否成立.22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求C的极坐标方程和l的直角坐标方程；(2)l与C交于A，B两点，若，求．【答案】(1)，(2)或． 【分析】（1）由C的参数方程化为直角坐标方程，再根据公式转化为极坐标方程，根据极坐标意义直线方程可化为直角坐标方程；（2）根据极径的几何意义及根与系数的关系，由可得极角.【详解】(1)将C的参数方程化为直角坐标方程得，即，∴C的极坐标方程为．∵l的极坐标方程为，∴l的直角坐标方程为．(2)将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得．当时，设A，B所对应的极径分别为，则，∴，∴，∴，满足，又，∴或．23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式对和恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号即可求解；（2）原不等式可转化为，利用绝对值不等式及均值不等式分别求出最值即可得解.【详解】(1)由题意得，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．(2)，当且仅当时取等号，所以．因为，当且仅当时等号成立，所以．若不等式对和恒成立，则，所以，解得或，即实数m的取值范围是．