2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题含解析

2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解.

【详解】由，得，

结合，可知.

故选：B.

2．已知为虚数单位，则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法法则化简复数，即可得到对应的坐标.

【详解】

则复数对应的点位于第二象限．

故选：B．

3．“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．

【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．

4．三棱柱中，面，则下列两条直线中，不互相垂直的是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】B

【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.

【详解】对于A，因为平面，平面，所以；

对于B，与不一定垂直；

对于C，因为，，且，平面,所以平面，平面,所以；

对于D，因为平面，，所以平面，平面,所以，

又，且，平面,所以平面，

又平面，所以C.

故选：B．

5．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为

A． B．0 C． D．1

【答案】C

【详解】 由题意得，如图所示

,

所以，所以，故选C.

6．已知点，直线，则点A到直线l的距离为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】解：点，直线，则点A到直线l的距离,

故选：C.

【点睛】点到直线的距离.

7．已知函数的最小正周期为4π，则（       ）

A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称

C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

【答案】C

【详解】分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.

详解：函数的最小正周期为4π，

，

，

，

由对称中心横坐标方程：，

可得，

A不正确；

由对称轴方程：，

可得，

B不正确；

函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，

C正确；

令，

可得：，

函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，

D不正确；

故选C.

点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．

8．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出直线AF的方程，求得A点坐标，即可求得P点坐标，利用抛物线定义即可求得答案.

【详解】∵抛物线方程为 ，

∴焦点F(2,0)，准线l方程为 ，

∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为 ，

由,可得A点坐标为，

∵PA⊥l，A为垂足，

∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为，

∴ ，

故选:C

9．已知函数（且），若函数图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在关于轴对称记为，转化为与只有一个交点，即可求解.

【详解】时，关于轴对称记为，

依题意与只有一个交点，

当，与只有一交点，满足题意。

当时，与只有一个交点，

须，

所以a的取值范围是.

故选:D.

【点睛】本题以函数对称点为背景，转化为考查函数的交点，解题的关键求函数关于轴对称的解析式，属于中档题.

10．数列表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据散点图的规律即可判断

【详解】由图象可知，第一天到第五天，实际情况与理想情况重合， 为定值，而实际情况在第六天以后日增长率逐渐降低，且逐渐趋于0

故选：B

二、填空题

11．在的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)

【答案】40

【解析】先求出展开式的通项，令即得解.

【详解】设展开式的通项为，

令，

所以常数项为.

故答案为：40

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．在数列中，，，则______．

【答案】

【分析】根据递推公式，逐个求解数列的每一项，总结其规律，进而求和，可得答案.

【详解】解：根据题意，由，，得，

又，得，；，得，，

所以中所有的奇数项均为，所有的偶数项均为，

所以．

故答案为：．

13．双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 ______ ．

【答案】

【分析】结合已知条件和双曲线的对称性求出与之间的关系，然后利用平面几何求出，再结合即可求解.

【详解】由题意和双曲线的对称性可知，，

又因为双曲线的渐近线方程为，

从而，即，

又由等边三角形性质可知，，

又由可知，.

故答案为：．

14．如图所示，点在线段上，，，若再给出一条线段的长度，可以使唯一确定，这个线段可以是______（只需写出代表该线段的字母，无需给出长度）

【答案】或或（三者填一个即可）

【分析】图中共出现这几处可选的线段，利用正弦定理逐一分析即可,

【详解】依题意得：，，

所以在中，三个角度均已知，只要知道三边中其中一条的数据，根据正弦定理即可求出剩余两边的数据，

于是在中，将会确定，且也已知，于是唯一确定.而给出无法确保三角形的存在性，

在中，根据正弦定理，，的取值将可能会让有零解，一解或者两解.

故答案为：或或（三者填一个即可）．

15．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：

①曲线与两坐标轴有公共点；

②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；

③若点，在曲线上，则的最大值是；

④曲线围成图形的面积大小在区间内．

所有正确结论的序号是______．

【答案】②③

【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析个结论，即可得答案．

【详解】根据题意，曲线的方程是，必有且，

当，时，方程为，

当，时，方程为，

当，时，方程为，

当，时，方程为，

作出图象：

依次分析个结论：

对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误；

对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；

对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，

故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；

对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，，

则第一象限面积为，

故总的面积大于，故④错误．

故答案为：．

三、解答题

16．在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：

(1)求角的大小；

(2)求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

【答案】(1)选②或③，；

(2)的面积为.

【分析】（1）选①，利用三边关系可判断不存在；

选②：利用余弦定理可求得角的值；

选③：利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．

【详解】(1)解：因为，，则.

选①：因为，则，则不存在；

选②：因为，则，

由余弦定理可得，，则；

选③：，则，

、，则，，故，从而.

(2)解：因为，，，由余弦定理可得，

即，解得，因此，.

17．如图所示的多面体中，面是边长为的正方形，平面平面，，，，分别为棱，，的中点．

(1)求证：平面；

(2)已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，，通过证明然后证明平面．

（2）以为原点，射线，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，求出，推出，然后求解几何体的体积．

【详解】(1)取中点，连接，，

因为是正方形，所以，．

因为，分别是，中点，所以，．

又因为且，

所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以．

又因为平面，平面

所以平面 

(2)因为平面平面，

平面平面，，平面，

所以平面．

如图，以为原点，射线，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．

设，则 ，，．

因为底面，所以平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

，，

则，即，

令，得，所以  

由已知，二面角的余弦值为，

所以，

解得，所以 

因为是四棱锥的高，正方形面积为，

所以其体积为．

18．年月日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造出吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场年月至月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：

（Ⅰ）现从年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨的概率；

（Ⅱ）从年月至月中任意选取个月，记为选取的这个月中回收的废纸可再造好纸超过吨的月份的个数. 求的分布列及数学期望；

(Ⅲ)假设年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨. 当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）

（注：方差，其中为，，…… 的平均数）

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；(Ⅲ) .

【解析】（Ⅰ）这是一个古典概型，共有7个月，该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的只有8月份，然后代入公式求解.  

（Ⅱ）先得到6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月，则的所有可能取值为0，1，2，再分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.

 (Ⅲ)根据添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小求解.

【详解】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件    

  由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨

  所以.  

（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸

 所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.

 的所有可能取值为0，1，2.   

所以的分布列为:

；

 (Ⅲ)

当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小.

【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

19．已知函数 .

（1）求的单调区间；

（2）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，并分解，对的两个根的大小进行比较，分类讨论时，；当时，；当时，，从而可确定函数的单调区间；

（2）按照（1）的分类讨论方法，当时，无极大值；当时，的极大值为，可得 ；当时，的极大值不可能等于，即可得解．

【详解】（1）的定义域为.

，

即.

令，解得：或.

当时，，故的单调递增区间是.

当时，，随的变化情况如下：

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

当时，，随的变化情况如下：

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）当时，的极大值等于. 理由如下：

当时，无极大值；

当时，的极大值为，

令，即解得或（舍）.

当时，的极大值为.

因为，，

所以.

因为，所以的极大值不可能等于.

综上所述，当时，的极大值等于

20．已知椭圆（）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点．

    (I)求椭圆的标准方程；

    (Ⅱ)判断的值是否为定值，并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，且点在椭圆上，结合性质  ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）由，设直线（）联立方程，，根据韦达定理及斜率公式先证明 ，可得直线和直线的斜率和为零，可得，故，从而得在线段的中垂线上，进而可得.

试题解析：（Ⅰ）由题意，

解得：，，

故椭圆的标准方程为

（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.

联立方程，得，

此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.

故直线TP和TQ的斜率存在.

方法1：

设，，则

直线，，

直线

故，，

    由直线，设直线（），

联立方程，，

当时，，，

.

方法2：

设，，直线和的斜率分别为和,

    由，设直线（）,

联立方程，,

当时，，,

,

故直线和直线的斜率和为零,

故,

故,

故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2

故.

21．设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”.

(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？

(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中，3，，.

(3)如果，且对于任意，3，，，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值.

【答案】(1)数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列，数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列

(2)证明见解析

(3)12873

【分析】（1）由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；

（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；

（3）在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，3，，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.

【详解】(1)（1）由不为整数，

可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；

数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，

则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；

(2)证明：若为偶数，设，考虑1，2，3，，这项，其和为.

所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；

若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；

这项，其和为，所以这项的算术平均数为：，

此数不是整数；故数列：1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中，3，4，；

(3)在数列中任意两项，，，

对于任意，3，4，5，，，在中任意取两项，，相异的项，

并设这项和为.由题意可得，都是的倍数，

即，，，为整数），可得，

即数列中任意两项之差都是的倍数，，3，，，

因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，

如果数列的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，

即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），

，

即，这与矛盾，

故数列的项数至多7项.

数列的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，

即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数），

又，且，

所以，，，，

所以，

当且仅当，，，取得最大值12873；

验证可得此数列为“阶平衡数列”，，3，，，

如果数列的项数小于或等于6，由，

可得数列中所有项的之和小于或等于，

综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.

【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.