专题26.1 反比例函数（一）（知识解读）-最新九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

这是一份专题26.1 反比例函数（一）（知识解读）-最新九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版），共15页。
 专题26.1 反比例（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题

【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.




考点2 反比例的图像和性质

1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
注意：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称

【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；






【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；



(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系．




【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【典例2】函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】若函数y＝（2m﹣1）x是反比例函数，则m的值是（　　）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．﹣1 D．1
【变式2-2】下列函数中，属于反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝5﹣3x D．y＝﹣x2+1

【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
C．当x＞﹣1时，y＜﹣3
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
【变式3-1】反比例函数y＝的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【变式3-2】（2022•德宏州模拟）反比例函数的图象经过的点是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，1）
【变式3-3】（2022春•泰兴市期中）已知反比例函数y＝，当y＜2时，结合图象，得到x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜4 B．x≥4 C．x＜4 D．x＞4或x＜0
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【变式4-2】若反此例函数y＝（k≠0），经过第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k＞0 C．k＜4 D．k＜0
【变式4-3】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【典例5】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1
【变式5-1】（2022•河西区一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【变式5-2】（2022•东丽区二模）若点A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1

【变式5-3】（2022•淄川区一模）已知点（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，则下列结论正确的是（　　）
A．x2＜x1＜x3 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【变式6-1】如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（　　）
A．y＝x2 B． C．y＝2x﹣4 D．y＝﹣x（x＞0）



专题26.1 反比例（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
2. 理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题

【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.




考点2 反比例的图像和性质

1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
注意：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称

【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
【解答】
（1）∵hS=450，∴，∴比例系数为450.
（2）∵Fs=W，∴，∴比例系数为.
（3）∵xy=1000，∴，∴比例系数为1000.
【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系．
【解答】(1)∵Fs＝50，
∴F＝，是反比例函数，比例系数为50；
(2)∵xy＝a，
∴y＝，是反比例函数，比例系数为a.
【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【答案】D
【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，
即y与x之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【典例2】函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，
解得：k＝0，
故选：A．
【变式2-1】若函数y＝（2m﹣1）x是反比例函数，则m的值是（　　）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．﹣1 D．1
【答案】A
【解答】解：依题意得：m2﹣2＝﹣1且2m﹣1≠0，
解得m＝±1．
故选：A．
【变式2-2】下列函数中，属于反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝5﹣3x D．y＝﹣x2+1
【答案】B
【解答】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项错误；
B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数属于二次函数，故本选项错误．
故选：B．
【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
C．当x＞﹣1时，y＜﹣3
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
【答案】C
【解答】解：A．关于反比例函数y＝，它的图象分布在一、三象限，正确，不合题意；
B．关于反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的增大而减小，正确，不合题意；
C．关于反比例函数y＝，当0＞x＞﹣1时，y＜﹣3，原说法错误，符合题意；
D．关于反比例函数y＝，若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，正确，不合题意；
故选：C．
【变式3-1】反比例函数y＝的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解答】解：反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
故选：A．
【变式3-2】（2022•德宏州模拟）反比例函数的图象经过的点是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：k＝xy＝﹣2，
A．xy＝1×2＝2≠k，不符合题意；
B．xy＝﹣1×（﹣2）＝2≠k，不合题意；
C．xy＝2×1＝2≠k，不合题意；
D．xy＝﹣2×1＝﹣2＝k，符合题意．
故选：D．
【变式3-3】（2022春•泰兴市期中）已知反比例函数y＝，当y＜2时，结合图象，得到x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜4 B．x≥4 C．x＜4 D．x＞4或x＜0
【答案】D
【解答】解：把y＝2代入y＝，求得x＝4，
由图象可知，当y＜2时，x＞4或x＜0，
故选：D．
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴6﹣k＜0，
解得：k＞6，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，
∴a﹣2＞0，
解得：a＞2，
故选：D．
【变式4-2】若反此例函数y＝（k≠0），经过第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k＞0 C．k＜4 D．k＜0
【答案】C
【解答】解：∵反此例函数y＝（k≠0），经过第二、四象限，
∴k﹣4＜0，
解得：k＜4．
故选：C．
【变式4-3】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，
∴a﹣2＞0，
解得：a＞2，
故选：D．
【典例5】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且0＜x1＜x2，
∴y1＜y2＜0，
故选：A．
【变式5-1】（2022•河西区一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜0＜2，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在第二象限，点C（2，y3）在第四象限，
∴y2＜y1＜0＜y3，
∴y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．
故选：D．
【变式5-2】（2022•东丽区二模）若点A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【答案】D
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
∵点A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴点B，C在第三象限，A在第一象限，
∴y2＜y3＜y1；
故选：D．
【变式5-3】（2022•淄川区一模）已知点（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，则下列结论正确的是（　　）
A．x2＜x1＜x3 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1
【答案】C
【解答】解：∵在反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵点（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，
∴点C（x3，y3）在第二象限，
∴x3＜0，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＞0，x2＞0，
∵函数图象在第四象限内y随x的增大而增大，y1＜y2，
∴0＜x1＜x2，
∴x3＜x1＜x2．
故选：C．
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【变式6-1】如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【答案】B
【解答】解：∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为（2，3）．
故选：B．
【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝3，故A点坐标为（1，3）；
∵A、B关于y＝x对称，则B点坐标为（3，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣3，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：B．
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（　　）
A．y＝x2 B． C．y＝2x﹣4 D．y＝﹣x（x＞0）
【答案】B
【解答】解：A、y＝x2，关于y轴对称，此选项不符合题意；
B、，两个分支处在一、三象限，关于原点对称，此选项符合题意；
C、y＝2x﹣4，过一、三、四象限，此选项不符合题意；
D、y＝﹣x（x＞0），第四象限的角平分线，此选项不符合题意．
故选：B．